Функцией распределения (или интегральной функцией) двумерной случайной величины (Х, У) называется функция F(x, y), которая для любых действительных чисел х и у равна вероятности совместного выполнения двух событий (Х < х) и (У < у), т. е. 
.
Свойства двумерной функции распределения:
1) 
;
2) 
– не убывает по каждому из своих аргументов:
при 
; 
при 
;
3) 
непрерывна слева по каждому из своих аргументов;
4) 
=
=
=0;
5) 
;
6) 
, где 
и 
– функции распределения случайных величин Х и У соответственно.
Значение 
функции распределения в случае системы (Х, У) двух дискретных случайных величин находится суммированием всех вероятностей 
, для которых 
, 
,т. е.
(49)
В случае системы непрерывных случайных величин (Х, У) ее закон распределения удобно задавать с помощью плотности распределения.
Плотностью распределения вероятностей (или просто плотностью) системы (Х, У) двух непрерывных случайных величин называется вторая смешанная производная ее функции распределения, т. е.
(50)
Свойства двумерной плотности распределения вероятностей:
1) 
;
2) 
3) 
, где D – произвольная область;
4) 
5) 
Математическим ожиданием двумерной случайной величины (Х, У) называется совокупность двух математических ожиданий М(Х) и М(У) (т. е. упорядоченная пара (М(Х), М(У))), определяемых равенствами:
и 
(51)
если Х и У – дискретные случайные величины;
и 
, (52)
если Х и У – непрерывные случайные величины.
Дисперсия двумерной случайной величины:
и 
, (53)
если (Х, У) – система дискретных случайных величин (
);
(54)
(55)
если (Х, У) – система непрерывных случайных величин.
Случайные величины Х и У называются независимыми, если независимыми являются события 
и 
для любых действительных чисел х и у. В противном случае случайные величины называются зависимыми.
В случае системы двух дискретных случайных величин (Х, У) необходимым и достаточным условием их независимости является равенство:
(56)
выполняющееся для любых i = 1, …, n, j = 1, …, m.
Необходимым и достаточным условием независимости двух непрерывных случайных величин Х и У, образующих систему (Х, У), является равенство:
(57)
Для характеристики связи между величинами Х и У служит корреляционный момент 
, который для дискретных случайных величин вычисляется по формуле:
(58)
а для непрерывных – по формуле:
(59)
Корреляционный момент удобно вычислять по формуле:
(60)
Если 
= 0, то случайные величины Х и У независимы (некоррелированные). Если ≠ 0, то Х и У зависимы (коррелированные).
Коэффициент корреляции 
двух случайных величин Х и У есть безразмерная величина, определяемая равенством:
, (61)
где 
и 
– среднеквадратические отклонения соответственно
величин Х и У.
Коэффициент корреляции характеризует степень линейной зависимости случайных величин Х и У.
Свойства коэффициента корреляции:
1) 
2) если Х и У – независимые случайные величины, то 
;
3) если случайные величины Х и У связаны линейной зависимостью 
, 
, то 
, и наоборот.
Раздел 3 Элементы математической статистики
Тема 3.1 Вариационные ряды, их графическое изображение
Генеральная и выборочная совокупность. Выборочный метод.
Статистическое распределение. Дискретный и интервальный вариационные ряды. Полигон частот и гистограмма частот. Эмпирическая функция распределения
Литература: [3]; [4]; [5]; [7]; [9]; [14]; [15]
Вопросы для самоконтроля
1 Генеральная и выборочная совокупность
2 Вариационный ряд. Частота вариант.
3 Статистическое распределение выборки
4 Дискретный и интервальный вариационные ряды
5 Полигон и гистограмма частот.
6 Накопленная частота. Эмпирическая функция распределения.
Методические рекомендации
Математическая статистика изучает методы обработки статистических данных. Под статистическими данными понимают совокупность чисел, полученных в результате опытов, наблюдений, опросов и т. п., количественно характеризующих какой-либо признак изучаемых объектов. Множество числовых значений этого признака для всех объектов изучаемой совокупности называют генеральной совокупностью. Выборочной совокупностью (выборкой) называют множество числовых значений признака группы объектов, случайным образом отобранных из всей совокупности рассматриваемых объектов.
Наблюдаемые числовые значения признака называют вариантами, а последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке, называют вариационным рядом. Пусть в выборке, содержащей n элементов, встречаются k разных значений (вариант) некоторого признака: 
Количество раз, которое наблюдалась каждая из вариант, соответственно обозначим 
Очевидно, что 
Числа 
называют частотами вариант. Перечень вариант выборки с указанием соответствующих им частот называется статистическим распределением выборки.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 |
Основные порталы (построено редакторами)