Конспект лекций по дисциплине "Технология тепловой обработки материалов" для студентов гр. ТЕ02-12м (стр. 18 )

План лекції: Математична модель охолоджування і твердіння сплаву на основі теорії квазірівноважної двофазної зони: рівняння теплопровідності з ефективними теплофізичними властивостями за граничних умов 1, 2 і 3 роду.

11.3 Математическая модель охлаждения и затвердевания сплава на основе теории квазиравновесной двухфазной зоны

Для решения задач затвердевания металлических сплавов широко используют теорию квазиравновесной (т. е. "почти" равновесной) двухфазной зоны (). Эта теория не учитывает кинетическое и концентрационное (или диффузионное) переохлаждение расплава, так как их величины для реальных условий малы. По опытным данным величина переохлаждения не превышает 1 °С, поэтому при математическом моделировании ею можно пренебречь. В указанной теории выявлена высокая скорость роста твердой фазы при малых отклонениях от равновесных условий. Это позволяет считать, что жидкость и твердая фаза находятся в равновесии в каждом элементарном объеме двухфазной области. Внутри двухфазной зоны в каждом физически малом элементе, содержащем обе фазы, концентрация жидкости и температура связаны условием равновесия. Это означает, что внутри двухфазной зоны нет переохлажденной жидкости или перегретой твердой фазы.

В систему уравнений теории квазиравновесной двухфазной зоны входят уравнение теплопроводности и уравнение переноса массы в жидкой части двухфазной области.

Решение этой системы с соответствующими начальными и граничными условиями позволяет определить температурное поле в слитке, поле концентраций и доли жидкой фазы. Однако практическое решение приведенной системы уравнений также встречает ряд методических трудностей.

В рамках теории квазиравновесной двухфазной зоны существует упрощенная модель охлаждения и затвердевания сплава (), подробно учитывающая процессы теплопроводности и упрощенно – процессы затвердевания и выделения теплоты плавления.

Используется дифференциальное уравнение нестационарной теплопроводности

с учетом выделяющейся теплоты кристаллизации , а также соотношения твердой и жидкой фаз. Принимается, что выделение теплоты плавления происходит по линейному закону в соответствии с правилом рычага. При этом вводится величина относительного количества твердой фазы

,

которая по смыслу может рассматриваться как относительное количество выделившейся теплоты кристаллизации, где и  – соответственно объемы всего расплава и твердой фазы;  = 0 для жидкой фазы,  = 1 для полностью затвердевшей части слитка. Для двухфазной зоны изменяется от нуля (при температуре ликвидус) до единицы (при температуре солидус).

С введением величины для кристаллизующегося слоя величина плотности внутреннего источника теплоты

,

где  – скрытая теплота кристаллизации; r – плотность металла; t ‑ время;  – скорость затвердевания сплава.

Тогда

.

Для упрощения методики решения задач затвердевания теплоту кристаллизации учитывают при помощи введения эффективной теплоемкости .

Используя подстановку

,

запишем дифференциальное уравнение теплопроводности в следующем виде:

.

Здесь величина эффективной теплоемкости задается в виде системы:

.

Таким образом, учет выделения теплоты кристаллизации в двухфазной зоне сводится к соответствующему заданию зависимости .

Относительное количество твердой фазы, находящейся в равновесии с жидкостью при t, может быть определено из диаграммы состояния сплава Fe-C по правилу рычага.

Если принять, что линии ликвидуса и солидуса – параллельные прямые, то

.

При постоянном темпе кристаллизации сплава внутри интервала температур получим

.

В ряде работ показано, что различные способы задания функции по сравнению с условием  = const незначительно изменяют температурные кривые, практически не отражаясь на общей продолжительности процесса затвердевания. Для решения многих практических задач можно с достаточной степенью точности принять для интервала кристаллизации величину теплоемкости постоянной, определяемой как средняя величина между и . Тогда значение эффективной теплоемкости в интервале температур () определится как

.

Из результатов многих исследований следует вывод, что существенное влияние на ход процессов кристаллизации оказывает гидродинамика расплава, однако непосредственное измерение скоростей конвективных потоков в жидком ядре слитка представляет значительные трудности.

В работах ряда авторов предлагается косвенный способ учета явлений гидродинамического перемешивания расплава в жидком ядре. Для учета явлений конвективного теплопереноса в жидкой фазе вводят понятие эффективного коэффициента теплопроводности (), значение которого принимают в 2-5 раз больше коэффициента теплопроводности в жидкой фазе.

Выразив значение эффективной теплопроводности с учетом соотношения фаз, можно окончательно записать:

– дифференциальное уравнение нестационарной теплопроводности:

;

– коэффициент эффективной теплоемкости:

– коэффициент эффективной теплопроводности:

В зависимости от формулировки задачи исследований задаются условия однозначности. Начальные условия обычно характеризуют распределение температур в начальный момент времени. Например, при t = 0, t = , где  ‑ начальное значение температуры металла.

Граничные условия, характеризующие процесс теплообмена на поверхности, задаются для каждой зоны МНЛЗ с учетом особенностей теплообмена.

При решении различных задач могут задаваться граничные условия 1; 2 или 3-го рода. Кроме того, в условиях однозначности задаются форма и размеры слитка, физические свойства металла, охлаждающей воды и др.

Система уравнений, включающая уравнение теплопроводности вместе с условиями однозначности представляет собой полную формулировку математической модели процесса затвердевания непрерывного слитка.

Решение этой системы позволяет определить температурное поле непрерывного слитка в любой момент времени от начала формирования оболочки слитка на уровне металла в кристаллизаторе и другие параметры, а также исследовать влияние внешних условий на тепловой режим формирования непрерывного слитка.

Метод математического моделирования может быть использован как для проектирования новых установок, так и при реконструкции или изменении режимов работы МНЛЗ с целью повышения производительности.

ЛИТЕРАТУРА

Основная:

1. Емельянов  работа машин непрерывного литья заготовок: Учебное пособие для вузов / Емельянов В. А. – М.: Металлургия, 1988. – 143 с.

Дополнительная:

2. Бойченко  разливка стали / Бойченко М. С., Рутес В. С., Фульмахт В. В. – М.: Металлургиздат, 1961. – 252 с.

3. Журавлев  формирования непрерывного слитка: Учебное пособие / , – М.: Металлургия, 1974. – 215 с.

4. Рутес  разливка стали в сортовые заготовки / , , – М.: Металлургия, 1967. – 144 с.

5. Сладкоштеев  разливка стали на радиальных установках / , , – М. Металлургия, 1974. – 286 с.

6. Берзинь  режимов затвердевания непрерывного слитка / , , и др. – Рига: Знатне, 1977. – 148 с.

7. Скворцов  и затвердевание стали в установках непрерывной разливки / , – М.: Металлургия, 1966. – 190 с.

8. Рутес  непрерывной разливки стали (технологические основы) / , , и др. – М.: Металлургия, 1971. – 296 с.

9. Самойлович  процессы при непрерывном литье стали / , , – М.: Металлургия, 1982. – 152 с.