Статистика (стр. 9 )

или

,

где r - коэффициент корреляции;

x, y - значения изучаемых признаков;

- средние величины по каждому признаку;

- средняя величина произведения признаков x и y;

n - численность совокупности.

Наиболее удобной формулой для расчета коэффициента корреляции является следующая:

Коэффициент корреляции изменяется от -1 до +1. Чем ближе коэффициент корреляции к единице, тем связь между признаками теснее. Если коэффициент корреляции меньше нуля, то вязь признается обратной, больше нуля – прямой.

Существенность связи можно оценить укрупненно по таблицам Чэддока, но часто возникает необходимость дать более точную оценку существенности либо на основе t - критерия (при малых выборках), либо F критерия Фишера. Вероятностная оценка существенности коэффициента корреляции при малой выборке предпочтительно осуществляется на основе расчета значения t - критерия Стьюдента

,

где r - коэффициент корреляции;

n - число сопоставляемых пар наблюдений.

Полученное расчетное значение t - критерия Стьюдента сравнивают с его теоретической величиной в зависимости от 5% и 1% уровень значимости и n-1 числа степеней свободы (приложение В).

Если tрасч. > tтабл., то связь между фактором и результатом существенная и наоборот, если tрасч.< tтабл., то связь несущественная и данный фактор исключается из дальнейшего исследования.

Если численность выборки более 30, то вначале определяется случайная ошибка выборочного коэффициента корреляции по формуле:

,

где 2 - общая дисперсия;

S2 - дисперсия разностей между эмпирическими данными и линией регрессии (остаточная дисперсия).

,

где y - эмпирические значения результативного признака;

- расчетные значения результативного признака.

Расчетные значения t - критерия Стьюдента определится:

tрасч.=

Далее сравнение расчетной величины с табличным значением t - критерия осуществляется аналогично вышеописанному.

В процессе изучения явления важно установить не только тесноту связи, но и рассчитать показатели, характеризующие взаимосвязь между признаками. Это осуществляется с помощью решения определенных регрессионных уравнений. Для аналитического выражения прямолинейной регрессии используют формулу прямой линии:

,

где - выровненное значение результативного признака;

a, b - параметры, представляющие средние значения постоянных показателей;

Параметры уравнения a и b определяют на основе метода наименьших квадратов, для чего решают систему нормальных уравнений.

.

Расчеты производятся в табличной форме, в которой подсчитываются значения å х,

å y, å x2 , å xy.

После нахождения параметров а и b записывается параметризованное уравнение прямой линии.

Параметры а и b должны быть оценены по статистическим критериям (t - критерий Стьюдента, F - критерий Фишера). Особое внимание должно быть уделено параметру b, называемому коэффициентом регрессии. Это связано с тем, что этот показатель, являясь мерой изменений зависимого признака, рассматриваемого как фактор, приобретает значения основания для операции экстраполирования.

Оценка существенности параметра b производиться на основе ошибки коэффициента регрессии:

,

где S2 - остаточная дисперсия;

x - варианты ряда (факторный признак);

- среднее значение ряда;

Расчетное значение t - критерия определяется:

.

Расчетное значение t - критерия сравнивается с его теоретическим значением по таблицам Стьюдента (приложение В) при n-2 степенях свободы при 5% и 1% уровне значимости. Если tрасч.>tтабл., то параметр b признается существенным.

Параметр а оценивается по формуле:

.

Расчетное значение t - критерия для параметра a определяется:

Аналогично с вышеописанным оно сравнивается с теоретическим значением и делается вывод о существенности параметра а.

УСЛОВИЯ ДЛЯ ЗАДАЧ 41-50

По приведенным ниже данным:

а) построить групповую таблицу, показывающую зависимость между двумя признаками;

б) дать графическое изображение зависимости;

в) рассчитать линейный коэффициент корреляции;

г) оценить существенность коэффициента корреляции;

д) построить линейное и одно из криволинейных уравнений зависимости между фактором и результатом, оценить параметры уравнений;

е) на основе ошибки аппроксимации выбрать лучшее уравнение;

ж) сделать выводы.

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Задача 41 - Имеются следующие данные о ширине ковшей пескомоек и их производительности:

Номер пескомойки	Ширина ковшей, мм	Средняя часовая производительность, м3
1	300	5,5
2	360	7,0
3	510	14,0
4	390	6,0
5	380	5,4
6	440	9,0
7	610	15,6
8	390	9,0
9	380	8,0
10	480	11,5
11	300	5,0
12	540	15,0
13	510	13,5
14	610	17,0
15	460	10,5
16	480	12,0

Задача 42 - Имеются данные по машиностроительному заводу о проценте бракованных поршневых колес и проценте влажности формовочной смеси (по данным эксперимента в литейном цехе), %:

Номер плавки	Влажность смеси	Брак
1	3,1	45,4
2	3	32,2
3	3,4	46,9
4	3,3	47,3
5	3,1	41,6
6	3,2	56,1
7	3,3	69,8
8	3,2	44,5
9	3,2	46,9
10	3,1	51,9
11	3,1	51,9
12	3	38,2
13	3,6	56,9
14	3,5	42,6
15	3,2	45
16	3,1	42,6
17	3,3	48,3
18	3	22,2
19	3,5	53,7
20	3,6	57

Задача 43 - Имеются следующие данные о численности рабочих и объеме основных фондов:

Номер завода	Средняя списочная численность рабочих, чел	Объем основных фондов на начало отчетного периода, млн. руб.
1	350	6
2	810	14
3	470	8
4	510	8
5	400	9
6	650	10
7	660	9
8	700	11
9	750	12
10	400	3
11	380	5
12	800	13
13	740	12
14	460	6
15	500	10
16	490	11
17	640	9

Задача 44 - Имеются следующие данные о качестве ковкого чугуна (относительное удлинение в процентах) и его химическом составе (содержание углерода в процентах), %: