Тема. Производственные функции (стр. 2 )

Величина предельной эффективности зависит от точки Xi , в которой берется производная. Она равняется тангенсу угла наклона касательной к кривой затраты–выпуск в этой точке.

Свойство (2) для дифференцируемой функции может быть записано:

(1.10)

(т. е. производственная функция–неубывающая функция, поэтому производная не отрицательна). Заметим, что свойство (2), являющееся на первый взгляд очевидным, выполняется не всегда: например, при увеличении количества удобрений, приходящихся на единицу площади, производство зерна сначала возрастает, а затем начинает убывать.

В этом случае применяют производственные функции, не удовлетворяющие соотношению (4.4). Для таких функций вводится понятие экономической области, т. е. множество таких сочетаний ресурсов, для которых соотношение (4.4) выполняется. Использование ресурсов, в сочетаниях не попадающих в экономическую область, бессмысленно с экономической точки зрения. Для функций, имеющих непрерывные производные, границами экономической области являются поверхности, определяемые соотношением:

Их называют разделяющими поверхностями.

Помимо показателя предельной эффективности, для характеристики влияния использования ресурса на выпуск применяется показатель средней эффективности:

(1.11)

Он показывает среднее количество продукции, приходящееся на единицу i-го ресурса. Показатели средней и предельной эффективности характеризуют абсолютный прирост продукции. Наряду с исчислением абсолютного прироста продукции представляет интерес определение показателя, характеризующего относительный прирост объема производства на единицу относительного увеличения ресурса. Этот показатель обозначаетсяи называется эластичностью выпуска по затратам i-го ресурса. Он равняется отношению предельной эффективности к средней:

= (1.12)

При анализе эффективности использования ресурсов часто интересует вопрос о том, на сколько процентов возрастает объем продукции при увеличении затрат ресурсов на 1%. Легко показать, что эластичность выпуска по затратам ресурса близка к этой величине:

; (1.13)

Поделим (1.13) на F:

(1.14)

3. Третье свойство. Закон убывающей предельной производитель-ности (закон падающей эффективности).

По мере увеличения количества одного ресурса при постоянных количес-твах других ресурсов предельная эффективность (производительность) этого ресурса не возрастает., т. е. возрастание использования одного из факторов при фиксированных остальных приводит к снижению отдачи от применения этого фактора.

Математически это свойство для дважды дифференцируемой производ-ственной функции можно записать следующим образом:

(1.15)

Т. е. функция предельной эффективности использования ресурса является убывающей.

Действительно, возрастание использования какого-либо ресурса не приводит к уменьшению выпуска и даже может несколько его увеличить, но темп роста продукции падает, так как в этом случае каждая следующая единица ресурса, количество которого возрастает должна соединиться со все меньшим, приходящимся на нее количеством других ресурсов. Эффективность использования ресурсов падает.

Закон убывающей предельной производительности никогда не был доказан строго теоретически. Он был выведен экспериментальным путем (сначала в сельском хозяйстве, а потом в других отраслях). Он отражает реально наблюдаемый факт определенных пропорций между различными факторами, сложившихся при производстве продукции. Нарушения их, выражающиеся в чрезмерном росте применения одного из ресурсов можно довольно быстро исчерпать границы взаимозаменяемости ресурсов и в конечном счете приведет к неэффективному его использованию.

Дадим графическую иллюстрацию связи изменения совокупного продукта и изменения предельной и средней эффективности в зависимости от затрат ресурса.

Пусть имеем произвольную функцию:,

здесь Xi–переменный фактор, остальные фиксируем.

Тогда изменение объема выпуска продукта зависит от затрат i-го ресурса и графически изобразится кривой затраты–выпуск.

На первой стадии производства (отрезок OX1) рост фактора Xi приводит к росту совокупного продукта, при этом предельная и средняя производительность использования ресурса растут. Предельная производительность MP использования ресурса в какой –либо точке кривой затраты–выпуск равняется тангенсу угла наклона касательной в этой точке. . На отрезке OX1 предельная эффективность всегда больше средней, так как средняя эффективность равняется и tg j< tga , так как OP>OP1

В точке A1 предельная эффективность достигает максимума, а средняя производительность по–прежнему ее меньше.

В точке С средняя и предельная эффективность использования ресурсов совпадают (в этой точке касательная к кривой затраты–выпуск проходит через начало координат и tg j= tga

На отрезке (X2X3), начиная с точки С tg j меньше, чем на отрезке (X1X2),.следовательно, предельная производительность на отрезке (X2X3) уменьшается.

Если на 1-й стадии (отрезок OX1) совокупный продукт растет медленнее, чем растет потребление переменного фактора xi, то на 2-й стадии (отрезок X1X2) совокупный продукт растет быстрее, чем потребление переменного фактора. На 3-й стадии (отрезок (X2X3)) предельная. эффективность меньше MP меньше средней AP, в результате чего совокупный продукт растет медленнее затрат переменного фактора.

В точке В совокупный продукт достигает максимальной величины, касательная к кривой затраты –выпуск в этой точке параллельна оси OX, следовательно. tg j =0 и предельная эффективность использования ресурса тоже равна нулю(MP=0). После точки B использование переменного фактора xi, становится нецелесообразным, так как его увеличение приводит к уменьшению объема продукта ( выходим за пределы экономической области). Предельная эффективность здесь становится отрицательной.

Средняя производительность на отрезке (X2X3) тоже уменьшается, но

остается выше предельной.

Таким образом, .ресурсы целесообразно использовать в производстве пока предельная эффективность их использования положительна.

Для увеличения эффективности использования переменного фактора следует перейти к новой технологии, которая включает большее количество постоянных факторов, чем в рассмотренной технологии. Это в свою очередь приведет к большему объему совокупного продукта при тех же значениях объемов переменного фактора.

Кривая II соответствует большему количеству включенных в производство постоянных факторов. При одинаковом количестве переменного фактора, например в точке X1 объем совокупного продукта больше, чем при технологии I.

Cледствие закона убывающей предельной производительности:

Спрос на ресурсы является производным от спроса на продукцию.

Если обозначить предельный продуктивность MP, а предельные издержки MC, то правило использования ресурсов можно выразить следующим образом: MP=MC, т. е. для того, чтобы максимизировать прибыль (через максимизацию выпуска продукта) каждый производитель(фирма) должен использовать дополнительные единицы любого ресурса до тех пор, пока каждая единица дает прирост совокупного дохода.

4. Четвертое свойство. Расширение масштабов производства

До сих пор мы рассматривали изменение объема продукции, предполагая изменение единственного ресурса .

Предположим, что осуществляется пропорциональное изменение затрат всех ресурсов в некоторое число раз t.

Если использовали ресурсы в объеме =(x1,x2,...,xn), то будем использовать t=(tx1,tx2,...,txn). При этом говорят, что в t раз увеличивается масштаб производства. Какова же будет отдача от расширения масштабов производства, т. е., как изменится при этом выпуск продукции?

Определение: Функция F() называется однородной степени d, если для любого X и любого скаляра t выполняется условие :

(1.16), здесь d–показатель однородности.

Однородная производственная функция характеризует отдачу от расширения масштабов производства. При этом отдача от производства в зависимости от d будет следующая: