Тема. Производственные функции (стр. 3 )

Отдача от расширения постоянна, если в t раз увеличиваем затраты ресурсов и в t раз возрастает выпуск продукции.

Естественно считать, что d >0, иначе использование ресурсов нецелесообразно.

Надо отметить, что 4-ое свойство выполняется не для всех производственных функций, применяемых в экономике.

Для характеристики последствий изменения масштабов производства вводят показатель e(X),называемый эластичностью производства, который определяется следующим образом:

(1.17)

характеризует процентное изменение выпуска продукции при изменении масштабов производства на 1% при данной структуре ресурсов.

Легко проверить, что для однородной функции =d

Пусть

.Найдем для этой функции по формуле (4.11):

= (1.18)

Можно установить связь между эластичностью производства и эластичностью выпуска по затратам ресурсов. Покажем это.

= (1.19)

Подставим (1.19) в (1.17):

(1.20)

Таким образом, эластичность производства в некоторой точке пространства ресурсов равна сумме эластичностей выпуска по затратам ресурсов в этой точке Это правило. справедливо для любой производственной функции.

Для однородной производственной функции:

В случае производственной функции с одним ресурсом эластичность производства совпадает с эластичностью выпуска по затратам этого ресурса.

Отметим одно полезное свойство производственных функций с постоянной отдачей от расширения масштабов производства. Для них при Xn>0 имеем:

,

т. е.. Благодаря этому количество переменных производственных функций можно уменьшить на единицу. Это особенно удобно в случае двух переменных, поскольку число переменных уменьшится до одной и график функции можно изобразить на плоскости. Обозначим функцию через ,где –новая переменная, характеризующая отношение объемов используемых ресурсов Если ввести обозначение ,то вместо производственной функции можно рассмотреть функцию .

Если удовлетворяет рассмотренным свойствам производственных функций, то для функции получаем:

j(0)=0 , .

2.3. Выбор производственной технологии. Понятие о замещении ресурса

Перед каждым производителем стоит проблема выбора: как именно произвести ту или иную продукцию, какие ресурсы и в каком количестве использовать. Последнее зависит не только от технологии, но и от стоимости ресурсов. Таким образом, эта проблема имеет два аспекта: технический и экономический.

Остановимся на первом из них. Предположим, что производственный процесс описывается производственной функцией с двумя ресурсами ( например, труд и капитал), остальные факторы производства фиксируем.

Предположим также, что объем производства представляет постоянную величину–Y0. При заданной технологии один и тот же выпуск продукции может быть обеспечен различным сочетанием этих факторов, т. е. либо с большим привлечением капитала, либо с большим привлечением труда, т. е. эти факторы являются взаимозаменяемыми.

Определение: совокупность таких сочетаний ресурсов (точек в пространстве ресурсов), при которой может быть произведено определенное количество продукта Y0. называется изоквантой и обозначается:

(3.1)

Можно дать такое определение изокванты (графическое):

Рассмотрим плоскость ресурсов X1OX2. Если соединить точки плоскости обеспечивающие один и тот же выпуск продукта, то получим линию называемую изоквантой. (рисунок 4.1)

При заданной технологии выпуск продукции в точке A обеспечивается большим применением капитала, а в точке С - за счет большого привлечения труда.

Если изокванта непрерывна, то число возможных комбинаций ресурсов бесконечно, что обеспечивает чрезвычайную гибкость принимаемых фирмой решений.

2.3.1.Свойства изоквант

1.  Для производственной функции, удовлетворяющих свойству 1, изокванты не пересекаются с осями координат.

Если предположить, что изокванта пересекается с осями, то возможен выпуск продукта при отсутствии какого-либо ресурса.

2.  Изокванты не пересекаются друг с другом.

Предположим, что изокванты пересекаются в точках A и B.

Здесь Y1 <Y2. Это означает, что в точках A и B для производства меньшего количества продукта Y1 требуется столько же ресурсов, что и для производства большего количества Y2.Очевидно, что такие технологии не эффективны, а проблема выбора оптимального сочетания ресурсов может быть рассмотрена лишь в пределах зоны технического замещения, т. е. в пределах кривой AB, где изокванты не пересекаются

3.  Изокванты имеют отрицательный наклон, т. е. тангенс угла наклона касательной к любой точке изокванты меньше нуля.

Предположим, что изокванта имеет положительный наклон.

Это означает, что одно и тоже количество продукта может быть произведено при затратах ресурсов ,причем как , так и,а такая технология не имеет смысла.

4.  Большему выпуску продукции соответствует изокванта более удаленная от начала координат.

Как записать уравнение изокванты?

Если Y=F (X1,X2)–уравнение производственной функции, то, для того чтобы получить уравнение изокванты, необходимо фиксировать выпуск продукции Y=Y0:

Y0 =F (X1,X2)–уравнение изокванты. Для того, чтобы записать его в явном виде необходимо выразить из этого уравнения переменную X2 в зависимости от X1 (или наоборот): . Эта функция имеет следующий смысл: это количество фактора X2, которое необходимо для получения заданного количества продукта Y0 в зависимости от использования фактора X1.

2.3.2. Предельная норма замещения.

Для производственных функций, допускающих замещение ресурсов вводится понятие предельной нормы замещения

Пусть М1(X1,X2)–некоторая произвольная точка в плоскости ресурсов, лежащая на изокванте Q(Y0),т. е.

Дадим приращение ресурсам (DX1 DX2) и рассмотрим точку на изокванте M2(X1+DX1 ,X2+DX2). В этой точке F(X1+DX1 ,X2+DX2)=Y0

Таким образом, dF= F(X1+DX1 ,X2+DX2)- F(X1 ,X2)=0 (3.2)

В то же время левую часть равенства (3.2) можно представить как:

dF= (разложение дифференциала),

следовательно, =0 (3.3)

Из равенства (3.3) получаем: (3.4)

Таким образом, вдоль изокванты выполняется соотношение (3.4) Величину g21 называют предельной нормой замещения второго ресурса первым. Она равняется частному от деления предельных производительностей ресурсов со знаком минус. Предельная норма замещения показывает, сколько единиц второго ресурса может быть высвобождено при увеличении затрат первого ресурса на единицу. Знак минус можно интерпретировать следующим образом: при уменьшении использования одного ресурса количество другого должно быть увеличено.

Предельная норма замещения в какой–либо точке изокванты совпадает по величине с тангенсом угла наклона касательной к изокванте в этой точке:

(смотри рисунок 3.5). Угол j тупой–тангенс его отрицательный. Угол j меняется при движении вдоль изокванты, а, следовательно, меняется и величина предельной нормы замещения, т. е. каждой точке изокванты соответствует своя предельная норма замещения.