Тема. Производственные функции (стр. 5 )

Функция Лагранжа L(X1, X2,l) представляет собой сумму целевой функции и функции ограничения (4.2), умноженного на новую независимую переменную l (называемую множителем Лагранжа), входящую обязательно в первой степени.

Если функции непрерывны и имеют непрерывные частные производные первого порядка по переменным , то необходимое и достаточное условие экстремума представляет равенство нулю частных производных по переменным:

(4.4)

Для нашей задачи эти условия можно записать следующим образом:

(4.5)

Второе соотношение системы (4.5 – это бюджетное ограничение. Из первого соотношения находим:

. (4.6)

Это выражение называют условием равновесия предприятия на рынке факторов производства.

Проанализируем экономический смысл величины . Здесь – предельная производительность единицы i-го фактора производства. Но тогда есть предельная производительность такого количества i-го фактора производства, которое можно купить за единицу денег, напр., за 1 руб. Следовательно, величина отражает эффективность вложения дополнительного рубля в закупку i-го фактора. Ясно, что закупленный набор факторов производства оптимален тогда и только тогда, когда эффективности вложения дополнительного рубля во все факторы равны между собой. Если это не так, то можно повысить производительность набора факторов, сократив закупки одних факторов и увеличив закупки других. Покажем это.

Выделим факторы k и l так, что>. Тогда, сократив закупки i-го фактора на 1 руб. и затратив высвободившийся рубль на закупку k-го фактора, можно увеличить производительность всего набора. Следовательно, до такого перераспределения набор не был оптимальным.

Выражение равновесия фирмы на рынке факторов производства есть полный аналог второго закона Госсена в теории предельной полезности. В теории предельной производительности этот закон можно сформулировать следующим образом: для оптимального набора факторов производства выполняется условие – предельные эффективности вложения единицы денег во все факторы производства равны между собой.

Таким образом, можно сделать следующие выводы:

·  в точке оптимального выпуска цены пропорциональным производительностям ресурсов: ;

·  отношение предельных производительностей ресурсов равно отношению цен:

, (4.7)

·  предельная производительность, приходящаяся на расходуемую денежную единицу, должна быть одинаковой для всех покупаемых товаров:

, Здесь l есть предельная эффективность вложения денег в любой из факторов производства.

Пример

2.4.2. Путь развития и экономия от масштабов производства

Предположим, что цены на ресурсы остаются постоянными, а, бюджет растёт, следовательно, растет и выпуск продукции.

Нарисуем в плоскости ресурсов изокосты и соответствующие максимальному выпуску при данных бюджетах.

Соединим точки касания изокост и изоквант. Получим линию OS, которую называют "путь развития".

Эта линия показывает темпы роста соотношения между факторами в процессе расширения производства. Например, на рисунке фактор X1 в процессе увеличения выпуска продукции используется в большей мере, чем X2.

Форма кривой "путь развития" зависит, в–первых, от формы изоквант, а во–вторых, от цен на ресурсы (от наклона изокост). Это может быть прямая или кривая линия, выходящая из начала координат (нулевого выпуска).

рис. 4.4

Если расстояние между изоквантами при пропорциональном изменении выпуска уменьшается, то это свидетельствует о возрастающей отдаче от расширения масштабов производства, т. е. увеличение выпуска достигается при относительной экономии ресурсов.

В случае, когда увеличение выпуска требует пропорционального увеличения ресурсов, имеем постоянную отдачу, при этом расстояние между изоквантами не меняется.

Увеличение расстояния между изоквантами говорит об убывающей отдаче. Убывающая отдача свидетельствует о том, что эффективный размер предприятия уже достигнут и дальнейшее наращивание производства нецелесообразно. В случае возрастающей отдачи, наоборот следует наращивать объём производства.

Таким образом, анализ производства на основе изоквант позволяет оценить эффективность применяемых технологий, а использование изокост позволяет к тому же оценить и экономическую эффективность, т. е. выбрать технологию (трудо, энерго, капиталосберегающую), позволяющую обеспечить выпуск продукции предприятия при тех денежных средствах, которыми располагает предприятие.

2.5. Основные виды производственных функций

В зависимости от характера производственного процесса, целей и средств моделирования в качестве производственных функций используются неотрицательные функции весьма разнообразного типа. Однако, наиболее часто используются функции, удовлетворяющие второму, третьему и четвертому свойствам. Эти свойства называют неоклассическими критериями, а функции–производственными функциями неоклассического типа. Рассмотрим производственные функции выпуска. В зависимости от числа производственных факторов, включенных в производственную функцию, их делят на однофакторные и многофакторные. В таблице 5.1 представлены основные типы однофакторных функций.

Таблица 5.1

Название	Уравнение	ср. произ..	Пр. произ.	эластичн.
Линейная	Y=a0+a1X		a1
Квадратная
Кубическая
Гиперболическая
Степенная				a0
Показательная
Экспоненци-альная

Рассмотрим многофакторные функции выпуска.

I.1. Неоднородная линейная функция:

(5.1)

I.2. Однородная линейная функция:

(5.2)

Предпосылки:

·  предельные производительности факторов постоянны: ;

·  в нуле функция принимает нулевое значение:

·  функция однородная первой степени (для однородной линейной функции):d=1

·  эластичность замены факторов бесконечна:s=0

·  эластичности выпуска по факторам обратно пропорциональны его средней производительности: