Тема. Производственные функции (стр. 6 )

Линейная функция применяется обычно для моделирования крупномасштабных систем (крупная отрасль, народное хозяйство в целом), в которых выпуск продукции является результатом одновременного функционирования множества различных технологий.

Особую роль играет предпосылка о постоянстве предельных производительностей факторов или об их неограниченной замещаемости.

II.  II.Степенные функции: , (5.3)

при этом часто предполагают, что (5.4)

Степенную функцию часто представляют в более удобном логарифмическом виде:

(5.5)

Аппарат производственных функций начал использоваться для исследования производственных процессов именно на основе степенных функций, которые были предложены американским учёными К. Коббом и П. Дугласом для описания связи между объемом общественного продукта (Y) и двумя важнейшими ресурсами: трудовыми(X2) и основными фондами (X1):

(5.6)

Функции вида (5.3) – (5.6) называют функциями Кобба–Дугласа.

Рассмотрим предпосылки, выделяющие эти функции в отдельный класс (на примере двухфакторной функции).

B нуле функция принимает нулевое значение:

  Предельная производительность каждого фактора пропорциональна его средней производительности:

MP=–предельная производительность труда

AP=–средняя производительность.

Предельная производительность получается из средней умножением на коэффициент пропорциональности a2<1, поэтому MP<AP.

MP>0,поэтому функция монотонно возрастающая. В силу того, что при стремлении к нулю предельная эффективность J–го ресурса стремится к бесконечности, а при стремлении к бесконечности предельная эффективность стремится к нулю (при постоянных объемах других ресурсов).

Эластичности выпуска по факторам постоянны:

.

Аналогично можно показать, что

3.  Выполняется закон падающей эффективности:

()=<0 (все сомножители кроме (a1-1) положительны, (a1-1)<0. Это означает, что, если, например, увеличивать затраты труда без увеличения затрат основных фондов производительность труда падает.

4.  Функция является однородной первой степени: d=1(так как ), следовательно, эластичность производства равна единице и функция характеризует постоянную отдачу от расширения масштабов производства.

Итак, степенная функция удовлетворяет всем четырем предположениям о производственных функциях, сформулированных ранее.

Рассмотрим вопрос о замещаемости ресурсов:

Найдем предельную норму замещения:

(5.7)

Норма замещения факторов зависит от точки изокванты, в которой она рассматривается (зависит от выбранной технологии). Предельные нормы замещения являются линейными функциями отношения объемов ресурсов, поэтому изоклинали степенной производственной функции–плоскости, а для двухфакторной–прямые линии, выходящие из начала координат. При пропорциональном росте объемов производственных ресурсов предельная норма не изменяется.

При стремлении количества замещаемого ресурса к нулю предельная норма замещения падает, но возможность замещения сохраняется при любых малых (но не равных нулю) количествах замещаемого ресурса.

Изокванты степенной функции неограниченно приближаются к оси координат при стремлении объема ресурса к бесконечности. Это означает, что заранее заданное количество продукции может быть выпущено при сколь угодно малом количестве одного из ресурсов, если имеется достаточное количество другого ресурса. Это свойство изоквант для двухфакторной функции переносится и на функции с любым числом факторов: одним производственным ресурсом можно компенсировать недостаток всех остальных ресурсов.

5.Эластичность замещения факторов постоянна и равна единице:

Представим отношение ресурсов как функцию предельной нормы замещения: =.

Найдем эластичность замещения:

Равенство единице эластичности замещения вне зависимости от параметров функции является одним из важнейших свойств производственных функции этого типа. Оно показывает, что характеристика замещения одного ресурса другим при выборе степенных функций задана заранее вне зависимости от желания исследователя. В то же время это является одним из недостатков степенной производственной функции.

Равенство единице эластичности замещения и неограниченная возможность компенсации одних ресурсов другими часто вступает в противоречие со свойствами моделируемых экономических процессов, В связи с этим в последние десятилетия все чаще используются производственные функции, близкие к степенной, но отличающиеся от нее возможностями замещения ресурсов. Такие функции характеризуются эластичностью замещения не равной единице.

Функция Кобба—Дугласа чаще всего используется для описания среднемасштабных хозяйственных объектов (от производственного объединения до отрасли), характеризующихся устойчивым, стабильным функционированием (вовлечение новой единицы ресурса приносит эффект, пропорциональный средней производительности имеющегося ресурса).

IV. Функция с фиксированными пропорциями факторов

(функция Леонтьева)

(5.6)

Предпосылки, выделяющие функции такого вида следующие:

  –вектор параметров, задающий рациональную структуру использования ресурсов. Если ресурсы используются в соответствии с вектором ,то выпуск продукции Y=Y0. Вектор можно интерпретировать как вектор норм затрат ресурсов.

Если вектор ресурсов удовлетворяет соотношению , (5.7)

где t–неотрицательный скаляр, то ресурсы расходуются рационально, а выпуск продукции определяется как .

2.  B нуле функция принимает нулевое значение:

3.  Замена ресурсов невозможна. Полагают, что эластичность замены между любыми двумя факторами равна нулю (s=0). Действительно, всякое отклонение затрат ресурсов от структуры, заданной соотношением (5.7), приводит к нерациональному использованию части ресурсов. Покажем это.

Пусть затраты ресурсов задаются векторомгде . Посмотрим, приведут ли добавки ресурсов к увеличению выпуска продукции. Вычислим выпуск продукции Y.

Т. е. выпуск продукции имеет ту же величину, что и при затратах. Следовательно, ресурсы, описываемые вектором, были затрачены без какой либо пользы, они не смогли заменить недостающий n–ый ресурс. Таким образом, замещение ресурсов здесь невозможно не только тогда, когда какой либо ресурс отсутствует полностью, но и когда он имеется. Это позволяет ввести понятие лимитирующего ресурса, т. е. такого, для которого достигается

Остальные ресурсы являются избыточными. Увеличение лимитирующего ресурса (их может быть несколько) приводит к повышению выпуска продукции.

Если для всех ресурсов выполняется соотношение ,то все ресурсы лимитирующие и избыточных нет.

Функция является однородной первой степени (d=1),следовательно, эластичность производства равна единице и функция характеризует постоянную отдачу от расширения масштабов производства.

3.  Рассмотрим двухфакторную функцию Леонтьева: Пусть (5.9),

(первый ресурс является лимитирующим). Функция в этом случае запишется: .Тогда, если ресурс лимитирующий, предельная эффективность первого ресурса MP=, и равна нулю, если ресурс избыточный.