Вычислительная математика (стр. 3 )

Сравнить работу методов Ньютона и обратной квадратичной интерполяции для фиксированного числа шагов.

Задаются число узлов ; функция в таблице 1. Результаты занести в таблицу (см. таблицу 9 для примера).

Таблица 9 – Пример оформления результатов

Метод Ньютона	Метод обратной квадратичной интерполяции
		число ВЗЦ			число ВЗЦ

11. Задание выполняется студентами с номерами варианта 4, 9, 14, 19, 24.

Сравнить работу методов с высоким порядком сходимости для достижения заданной точности .

· метод Ньютона;

· метод секущих;

· метод Стефенсена

– функция в таблице 1. Результаты занести в таблицу.

12. Задание выполняется студентами с номерами варианта 5, 10, 15, 20, 25.

Сравнить эффективность метода Ньютона и метода обратной квадратичной интерполяции для достижения заданной точности .

– функция из таблицы 1. Результаты занести в таблицу.

13. Вычислить коэффициенты обусловленности корней полинома пятой степени из таблицы 10 в зависимости от коэффициентов полинома a priori и a posteriori, то есть теоретически и вычислив корни полинома с помощью приближенных методов по формуле Ньютона.

Показать, что для кратных и простых корней метод имеет различную скорость сходимости

Коэффициенты уравнения вещественны и заданы с точностью , которая должна быть предварительно подсчитана (с учётом характеристики машинный эпсилон используемого типа данных).

Ответ должен содержать 60 значений коэффициентов обусловленности.

Таблица 10 — Варианты задания 13

Вариант	Интеграл
1, 12, 24
2, 13, 25
3, 14
4, 15
5, 16
6, 17
7, 18
8, 19
9, 20
10, 21
11, 22

14. Вычислить приближённые значения первой и второй производных для функции , заданной в таблице 1, аргумент также задан в таблице 1.

Первую производную аппроксимировать центральным разностным отношением, а для второй производной использовать формулу

(а) Найдите приближения к первой производной. Используйте формулу центрального разностного отношения для значений , где .

(б) Вычислите приближения для вторых производных с теми же значениями шага.

В каждом случае сравните вычисленные приближения с истинными значениями производных. Объясните, как на выбор наилучшего значения влияет поведение функции вблизи точки ?

(в) Используйте технику экстраполяции, чтобы улучшить приближения, полученные в пунктах (а) и (б).

(г) Сделайте выводы, проанализировав погрешность вычислений. Результаты оформите в таблице, сравнив точные и приближенные значения производных, а также полученную ошибку. Приведите график ошибки вычисления 1-ой и 2-ой производной в зависимости от .

Список литературы

1.  , , Копченова методы для инженеров. М., Высшая школа, 2004. – 548 с.

2.  , , Кобельков методы. М., Бином, 2004. – 636 с.

3.  , , Чижонков методы в задачах и упражнениях. М., Высшая школа, 2000. - 254 с.

4.  . Основы численных методов. М., Высшая школа, 2002. - 847 с.

5.  Волков методы. СПб.: Лань, 2004. - 244 с.

6.  Калиткин методы. М., Наука, 1978. - 246 с.

7.  , , Монастырский методы. Наука, 1976. – 300с.

8.  Научно-практический журнал "Exponenta Pro. Математика в приложениях" http://rrc. dgu. ru/res/exponenta/educat/systemat/systemat. asp. htm

9.  Пирумов методы. М., Дрофа, 2003. - 224 с.

10. , Плотников численных методов. М., Физматлит, 2002. - 356 с.

Приложение А. Пример выполнения работы

Ниже приводится пример выполнения задания для варианта № 25. Решения отдельных заданий могут быть неполными, иметь пробелы, недочёты, недостаточно полно сформулированные выводы. Коды программ также приведены исключительно для справки. Для некоторых заданий в квадратных скобках указано, какие действия студент должен произвести самостоятельно.

1 Задание №1

1.1 Задание

Найти корни уравнения методом итераций с точностью .

1.2 Идея метода простых итераций

Представим функцию в виде . На каждом шаге . Значение постепенно приближается к корню уравнения .

1.3 Построение итерационной функции

Преобразуем выражение : или , значит, – искомая итерационная функция.

1.4 Критерий окончания итерационного процесса

Требуемая точность будет достигнута, когда

где на промежутке .

Так как на промежутке , то

Процесс решения уравнения при помощи метода простых итераций содержится в таблице А.1.

1 – Поиск корня уравнения методом простых итераций.

Номер итерации, n	Предыдущее приближение,	Текущее приближение,
0	0,50000	0,41956	0,16086
1	0,41956	0,44367	0,04820
2	0,44367	0,43693	0,01348
3	0,43693	0,43885	0,00385
4	0,43885	0,43830	0,00109
5	0,43830	0,43846	0,00031
6	0,43846	0,43842	0,00008

1.5 Исходный код программы на языке Python

# coding=utf-8

# Курсовая работа по вычислительной математике

# Задание 1

import math

# Определение функции

def phi(x):