Вычислительная математика (стр. 7 )

Таким образом,

Теперь найдем коэффициенты обусловленности для корней второй кратности.

Для кратных корней кратности 2 и эти корни будут простыми корнями уравнения .

Как и делалось выше, найдём обусловленность кратных корней и . Необходимо отметить, что погрешность входных данных теперь 2εм, так как коэффициенты представляют собой произведения первоначальных коэффициентов и степеней, которые ранее были представлены с точностью .

Рассмотрим неявную функцию:

где , , , , .

8.4 Определение корней при помощи метода Ньютона

Идея данного метода описана в пункте 3.4.

Таблица 9 – Определение корней при помощи метода Ньютона

Точное значение корня	Начальное приближение	Приближенное значение корня	Число итераций	Фактическая погрешность

[Необходимо ещё раз определить коэффициенты обусловленности, имея корни и привести их в таблице.]

9 Задание №14

9.1 Задание

Вычислить приближённые значения производных (первой и второй) для функции в точке .

Первую производную будем аппроксимировать центральным разностным отношением, а для второй производной используем формулу .

a) Найдите приближение к первой производной по указанному правилу. Используйте формулу центрального разностного отношения для значений , где .

b) Вычислите приближение для второй производной. Шаг тот же. В каждом случае сравните вычисленные приближения с истинными значениями производных. Можете ли вы объяснить, как на выбор наилучшего значения h влияет поведение функции вблизи точки ?

c) Используйте технику экстраполяции, чтобы улучшить приближения, полученные в пунктах (а) и (б).

d) Сделайте выводы, проанализировав погрешность вычислений. Результаты оформите в таблице, сравнив точные и приближенные значения производных, а также полученную ошибку

9.2 Описание метода решения задачи

Для вычисления первой производной в точке x воспользуемся центральным разностным соотношением:

где , .

Для вычисления второй производной в точке x воспользуемся формулой

которая получается, если дважды применить формулу центрального разностного соотношения.

Таблица 10 – Приближенное вычисление производной

			Точное значение			Точное значение

[Необходимо внести все значения в таблицу.]

9.3 Вывод

При приближенном вычислении производной с различным шагом наибольшая погрешность была получена при наименьшем шаге. Это связано с большой погрешностью вычислений.

С увеличением шага погрешность сначала уменьшается (преобладает вычислительная погрешность, которая уменьшается с увеличением шага), затем достигает оптимального значения, и вновь начинает расти (преобладает методическая погрешность, которая растет с увеличением шага).

Учебное издание

Численные методы

Методические указания к выполнению курсовой работы

Авторы-составители:

Гарбарь Сергей Владиславович

Жгун Татьяна Валентиновна

Редактор

Компьютерная верстка

Изд. лиц. ЛР № 000 от 21.09.98.

Подписано в печать 24.08.2007. Бумага офсетная. Формат 60´84 1/16.

Гарнитура Times New Roman. Печать офсетная.

Усл. печ. л. 1,2. Уч.-изд. л. 1,3. Тираж 200 экз. Заказ №

Издательско-полиграфический центр Новгородского

государственного университета им. Ярослава Мудрого.

173003, Великий Новгород, .

Отпечатано в ИПЦ НовГУ. 173003, Великий Новгород,

.