Вычислительная математика (стр. 4 )

return math. acos(x**2)/math. pi

# Рекурсивная функция поиска корня

def findRoot(f, x, q, epsilon):

fx = f(x)

# Проверка условия окончания

if (1/(1-q)*abs(fx-x) < epsilon):

print 'Значение корня', fx

print '1/(1-q)*abs(fx-x) =', 1/(1-q)*abs(fx-x)

else:

print 'Текущее приближение', fx

print '1/(1-q)*abs(fx-x) =', 1/(1-q)*abs(fx-x)

findRoot(f, fx, q, epsilon)

findRoot(phi, 0.5, 0.5, 0.0001)

1.6 Вывод

С помощью метода простых итераций был найден корень уравнения , получено значение корня

2 Задание №3

2.1 Задание

Функция задана в таблице А.2. Вычислить значение функции в точке с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа.

Оценить погрешность вычислений, погрешность метода, суммарную погрешность.

2 – Задание функции

0,00000	1,00000	0,27000	1,45474
0,08000	1,72539	0,31000	1,07307
0,13000	1,97664	0,38000	0,42687
0,20000	1,92950	0,44000	0,09338

2.2. Интерполяция с использованием многочлена Лагранжа

Поскольку в таблице значение функции заданы с четырьмя знаками после запятой, выберем точность аргумента, которая не ухудшит точность входных данных .

В общем случае будем заменять функцию полиномом степени

совпадающим с функцией в табличных точках , называемых узлами интерполяции

Система уравнений (1) может быть решена, если среди узлов нет совпадающих. Используя решение этой системы интерполяционный полином можно записать в виде полинома Лагранжа

2.3 Оценка погрешности метода

Ошибка приближения функции интерполяционным полиномом это разность , где

Приближенно найдем третью производную функции, заменив полином Лагранжа третьей степени. Тогда третья производная постоянна и равна старшему члену полинома Лагранжа третьей степени, умноженному на.

[Необходимо привести подсчёты.]

2.3 Оценка погрешности вычислений.

Пусть – погрешность исходных данных.

[Необходимо привести подсчёты.]

2.4 Код программы на языке JavaScript

function l(x, index, length, xlist)

// Нахождение значения базисного полинома в заданной точке

// Входные параметры: аргумент x, номер базисного полинома,

// число точек интерполяции, массив с точками

{

var numerator = 1, denominator = 1;

for (var i=0; i<length; ++i)

{

if (i!= index)

{

numerator *= (x - xlist[i]);

denominator *= (xlist[index] - xlist[i]);

}

}

return numerator / denominator;

}

function L(x, length, xlist, fxlist)

// Нахождение значения полинома Лагранжа в заданной точке

// Входные параметры: аргумент x, число точек интерполяции,

// массив с точками, массив со значениями функции

{

var temp = 0;

for (var i = 0; i < length; ++i)

{

temp += fxlist[i]*l(x, i, length, xlist);

}

return temp;

}

var xlist = [0.0, 0.08, 0.13, 0.2, 0.27, 0.31, 0.38, 0.44];

var fxlist = [1.0,1.72539,1.97664,1.9295,1.45474,1.07307,0.42687,0.09338];

document. write(L(337.0/3336.0, 8, xlist, fxlist));

2.4 Вывод

С помощью метода интерполяции полиномами Лагранжа было получено приближенное значение функции

3 Задание №4

3.1 Задание

С точностью найти наименьший положительный корень уравнения .

1. Методом половинного деления

2. Методом Ньютона

3. Методом хорд

Результаты занести в таблицы.

3.2 Исследование задачи

Построив график функции (рисунок А.1), находим, что наименьший положительный корень уравнения находится на промежутке Все методы будем применять для поиска корня именно на этом промежутке.

1. График функции

3.3 Идея метода половинного деления.

Разделим исходный отрезок пополам . Проверяя знаки , , , выясним, в каком из отрезков или содержится корень

, если ;

, если .

Выбранный отрезок принимаем за и повторяем это до тех пор, пока получаемый отрезок не сожмётся до заданной степени точности.

Процесс решения уравнения с использованием метода половинного деления показан в таблице А.3.

3 – Нахождение корня уравнения методом половинного деления

Число шагов,	Начало промежутка,	Конец промежутка,	Длина промежутка,
0	0,8000	1,2000	0,4000
1	1,0000	1,2000	0,2000
2	1,0000	1,1000	0,1000
3	1,0000	1,0500	0,0500
4	1,0000	1,0250	0,0250
5	1,0125	1,0250	0,0120
6	1,0125	1,0175	0,0060
7	1,0125	1,0150	0,0030
8	1,0135	1,0150	0,0015
9	1,0135	1,0142	0,0007

3.4 Идея метода Ньютона

Зададим некоторое начальное приближение и линеаризуем функцию в окрестности с помощью отрезка ряда Тейлора

Решим линеаризованное уравнение , трактуя его решение как первое приближение к корню

Продолжая этот процесс, приходим к формуле Ньютона

которую можно считать итерационным процессом с итерирующей функцией .

Процесс решения уравнения с использованием метода Ньютона показан в таблице А.4.

4 – Нахождение корня уравнения методом Ньютона

Число шагов,	Текущее приближение,	Точность,
0	0,80000	–
1	0,81412	0,01412
2	0,84012	0,02600
3	0,88345	0,04333
4	0,94325	0,05980
5	0,99512	0,05187
6	1,01347	0,01835
7	1,01412	0,00065

3.5 Идея метода хорд

Этот метод можно получить из метода Ньютона, заменив производную отношением разности функции к разности аргумента в окрестности рассматриваемой точки