Восстановление оптических характеристик слоистообразной облачности на основе спектральных измерений коротковолновой солнечной радиации (стр. 1 )

российская академия наук

Научно-исследовательский центр экологической безопасности

На правах рукописи

Приложения

восстановление оптических характеристик слоистообразной облачности на основе спектральных измерений КОРОТКОВОЛНОВОЙ СОЛНЕЧНОЙ радиации

Диссертация
на соискание ученой степени
доктора физико-математических наук

Специальность: 25.00.29 – физика атмосферы и гидросферы

Санкт-Петербург

2001

Приложение 1

1.1 Расчет коэффициента отражения от полубесконечного консервативно-рассеивающего слоя для индикатрисы рассеяния Хеньи-Гринстейна

Величина коэффициента отражения необходима при решении многих задач оптики атмосферы, касающихся интерпретации спутниковых измерений. Обычно для расчетов используются строгие численные методы [1-5, 17-19, 20, 24]§, которые дают вполне точные значения функции при решении прямой задачи. Здесь мы предлагаем аналитические решения, основанные на анализе результатов расчетов строгими численными методами [5, 17-19, 20, 24] нулевой и высших гармоник коэффициента отражения для индикатрисы рассеяния c(g), представленной формулой Хеньи-Гринстейна для ряда значений параметра g [3, 10, 11]. Первый способ представляет собой аппроксимацию линейной и степенными функциями точных значений гармоник, которые вносят основной вклад в величину коэффициента отражения. Второй подход состоит в точном учете всех гармоник для первого порядка рассеяния и только нулевой и первой гармоник лдля высших порядков рассеяния.

Следует обратить внимание на то, что реальный облачный слой характеризуется индикатрисой рассеяния, отличающейся от функции Хеньи-Гринстейна. При этом коэффициент отражения отличается от рассчитанного для функции Хеньи-Гринстейна не более, чем на 10% [5, 17-19]. В настоящей работе мы не касаемся расчетов в случае индикатрис рассеяния сложной формы, но необходимо иметь в виду это отличие коэффициента отражения от значений в реальной облачности.

1.  Аппроксимация численных результатов.

Представим коэффициент отражения полубесконечным слоем, как это обычно делается [1-5] в виде разложения по косинусу азимутального угла, для того чтобы выделить зависимость от косинуса азимутального угла:

, (1.1.1)

где h и z зенитные углы визирования и Солнца, j - угол азимута по отношению к Солнцу и rm(h,z) гармоники коэффициента отражения порядка m. Как было упомянуто выше, здесь мы представляем индикатрису рассеяния формулой Хеньи-Гринстейна:

Результат расчетов численным методом [17-19] показывает, что для весьма точного описания коэффициента отражения, даже в случае сильно вытянутой вперед индикатрисы с параметром g=0,9, достаточно учитывать нулевую гармонику и шесть первых гармоник для зенитных углов arccosh и arccosz больше 80°. Эти значения углов не ограничивают применение предлагаемого метода, так как при зенитных углах, близких к горизонту необходимо использовать модель сферической атмосферы и учитывать рефракцию солнечных лучей. Эти случаи не рассматриваются в данной работе.

Рассмотрим гармоники коэффициента отражения rm(h,z) для m=0,…,6, для описания которых будем применять выражение, аналогичное формуле предложенной для нулевой гармоники в монографии [1]:

. (1.1.2)

Такое представление обеспечивает выполнение принципа взаимности относительно направлений освещения и наблюдения.

На рис. 1.1 представлены коэффициенты am, bm и cm выражения (1.1.3) для нулевой и второй гармоник (m=0;2) как функции от параметра вытянутости g индикатрисы рассеяния Хеньи-Гринстейна. Оказалось, что в пределах значений параметра g=0,3 – 0,9 и m=0,1,2 коэффициенты am, bm и cm весьма точно (с погрешностью менее 5%) аппроксимируются линейными зависимостями, представленными в таблице 1.1. Однако в более широких пределах значений параметра g=0-0,9 уже не удается применять линейные аппроксимации. Это обстоятельство не сильно ограничивает наше рассмотрение, потому что облака характеризуются индикатрисами рассеяния, для которых параметр g больше 0,7. Предложенную аппроксимацию далее будем называть Линейной Аппроксимацией (метод-ЛА). Легко заметить, что значения первой и

второй гармоник при g=0,3 близки к нулю.

Рисунок 1.1. Коэффициенты am, bm и cm (сплошная, пунктирная и прерывистая линии) в уравнениях (3) как функции от параметра g индикатрисы рассеяния: а) для нулевой (m=0) гармоники и б) для второй (m=2) гармоники коэффициента отражения и линейные аппроксимации согласно таблицы 1.1 (толстые линии);

Таблица 1.1  Линейная аппроксимация (ЛА) для коэффициентов am, bm и cm в формуле (1.1.3) нулевой, первой и второй азимутальных гармоник коэффициента отражения

m	am	bm	cm	m limit
0	2,051g+0,508	-1,420 g +0,831	0,930 g+0,023	-
1	1,821g-0,558	-1,413 g +0,387	1,150 g-0,239	0,80
2	2,227 g-0,669	-1,564 g+0,481	1,042 g-0,293	0,55

Для случая изотропного и консервативного рассеяния (g=0 и w0=1)) известно простое выражение для нулевой гармоники коэффициента отражения [1]:

, (1.1.3)

где j(h) функция Амбарцумяна, для которой было получено приближенное выражение [6, 11] с коэффициентом корреляции 0,999 (рис. 1.2.),

j(h)=1,874h +1,058 , (1.1.4)

что приводит к значениям a0=0,88, b0=0,47 и c0=0,28.

Рисунок 1.2. Точная зависимость (сплошная линия) и аппроксимация (1.1.4) (пунктирная линия) функции Амбарцумяна j(h).

Известно, что для значений углов arccosh, arccosz меньше 70° нулевая гармоника коэффициента отражения мало отличается от изотропного случая, поэтому можно расширить область применимости, видоизменив выражение (1.1.3) следующим образом :

. (1.1.5)

Далее будем называть эту формулу Коррекцией Изотропного случая (КИ). Как показывает сравнение с точными значениями (таблица 1.6), приближение (1.1.5) точнее описывает нулевую гармонику коэффициента отражения, чем метод-ЛА, поэтому для расчета нулевой гармоники будет применяться формула (1.1.5).

Для проверки предложенных аппроксимаций применим соотношение, известное из теории переноса радиации, связывающее нулевую гармонику коэффициента отражения r0(h,z) и функцию выхода u0(z) в случае консервативного рассеяния:

. (1.1.6)

Учет формулы (1.1.2) и таблицы 2.1 дают следующую формулу для функции выхода:

u0(z)=(0,780+0,090g) z + 0,437-0,017g, (1.1.7)

а формула (1.1.3) (метод КИ) приводит к:

u0(z)=(0,793+0,048g) z + 0,445 – 0,003g . (1.1.8)

Рисунок 1.3. Точные (сплошные тонкие линии) и аппроксимации (толстые линии)функции выхода u0(h) для g=0,85 (длинные прерывистые линии) для формулы (1.1.7)) и g=0,85, 0,9 (пунктирные и прерывистые для формулы (1.1.8) и относительные погрешности аппроксимаций Du0(h)/u0(h) (нижние кривые);

Рисунок 1.4. Зависимость коэффициентов am, bm и cm для гармоник с номерами: a) m=3 и б) m=6 от параметра g индикатрисы рассеяния (тонкие линии) и степенная апроксимация согласно таблице 1.2 (толстые линии);

Сравнивая эти зависимости с аппроксимацией численных значений функции u0(z), видно, что все три соотношения обеспечивают близкие значения функции выхода для значений косинуса зенитного угла z ³ 0,15, показанные на рис. 1.3.

На рисунке 2.4 представлены зависимости коэффициентов am, bm и cm от параметра g для гармоник с номерами m>2, которые аппроксимированы степенными зависимостями, показанными в таблице 1.2. Этот способ ниже будет называться Степенной Аппроксимацией (СА-метод). В случае использования формулы Хеньи-Гринстейна высшие гармоники оказываются близки к нулю (rm(h,z) » 0, m>0) если хотя бы одно из значений h или z больше некоторого предельного значения h limit. Величины h limit различны для гармоник с различным номером и указаны в таблицах 1.1 и 1.2.

Таблица 1.2  Степенная аппроксимация (СА) для коэффициентов am, bm и cm в форм-ой, 5-ой и 6-ой азимутальных гармоник коэффициента отражения

m	0,3 £ g £0,9
	am	bm	cm	h limit
3	62,00g3-90,28g2+42,42g-6,26	-15,24g3+19,70g2-8,73g+1,25	2,75g2-2,03g+0,39	0,50
4	105,26g3-155,06g2+72,93g-10,76	-30,30g3+43,04g2-19,83g+2,89	3,70g2-3,20g+0,65	0,45
5	120,63g3-177,60g2+83,48g-12,32	-25,84g3+35,15g2-15,61g+2,22	3,23g2-2,75g+0,55	0,35
6	144,92g3-202,16g2+90,48g-12,85	-32,60g3+43,88g2-19,15g+2,67	3,90g2-3,41g+0,70	0,35

Формула (1.1.3) вместе с аппроксимациями коэффициентов am, bm and cm согласно таблицам 1.1 и 1.2 обеспечивают вполне приемлемое для атмосферной оптики представление коэффициента отражения. Погрешности предложенной аппроксимации зависят от условий освещения и наблюдения (величин z, h), номера гармоники и значений параметра индикатрисы рассеяния g. Результат для нулевой гармоники показан на рис. 1.5, откуда следует, что в для значений g £ 0,75 и h,z>0,02 погрешности меньше 2%. При значениях g = 0,8-0,9 погрешности менее 3%, если хотя бы одно из значений h или z больше 0,3 и погрешность меньше 10% для произвольных значений h и z. Первая и вторая гармоники аппроксимированы с погрешностью, не превышающей 1-2% для значений параметра g менее 0,8, если хотя бы одна из величин h или z больше 0,12.