Рабочая программа по дисциплине Б 2.1- Высшая математика (стр. 2 )

Виды учебной работы	Всего час/зач. ед.	Семестры
1	2	3
Аудиторные занятия	306/8,5	126/3,5	90/2,5	90/2,5
Лекции (Л)	122/3,4	50/1,4	36/1	36/1
Практические занятия (ПЗ)	172/	72/2	50/1	50/1
Контрольные работы (КР)	12/	4/	4/	4/
Самостоятельная работа (СР)	306/8,5	90/2,5	126/3,5	90/2,5
Домашняя работа (задание)	72/2	24/	24/	24/
Самостоятельная проработка учебного материала	162/4,5	42/1	78/2	42/1
Вид итогового контроля	72/2	Экзамен 24/	Экзамен 24/	Экзамен 24/
Общая трудоёмкость час/зач. ед	612/17	216/6	216/6	180/5

4.2. Содержание разделов (тем) дисциплины.

Первый семестр

Раздел 1. Алгебра.

Тема 1. Алгебра матриц. Определители.

Понятие матрицы, виды матриц. Сложение матриц и умножение на число, произведение матриц. Определители, их свойства. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по элементам строки и столбца. Различные способы вычисления определителей. Обратная матрица, условия еѐ существования, свойства. Ранг матрицы и способы его вычисления.

Тема 2. Решение систем линейных уравнений.

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия. Общая теория линейных систем. Теорема Кронекера –Капелли. Системы линейных уравнений с неизвестными и два метода их решения: а) матричный метод, б) метод Крамера. Метод Гаусса решения системы линейных уравнений (метод последовательного исключения неизвестных).

Тема 3. Комплексные числа.

Понятие комплексных чисел. Их изображение на комплексной плоскости. Модуль, аргумент комплексного числа. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы записи комплексных чисел. Операции над комплексными числами. Решение алгебраических уравнений. Основная теорема алгебры.

Раздел 2. Геометрия.

Тема 4.Элементы векторной и линейной алгебры.

Геометрические векторы, длина (модуль) вектора. Коллинеарные и компланарные векторы. Линейные операции над векторами: умножение вектора на число, сложение векторов. Линейная зависимость векторов. Базис и разложение вектора по векторам базиса, координаты вектора. Линейные операции над векторами, заданными своими координатами. Проекция вектора на ось. Прямоугольная система координат, координаты точки и вектора.

Скалярное произведение, его свойства и формулы для вычисления длины вектора, угла между двумя векторами, проекции вектора на ось. Векторное произведение, его свойства и формулы для вычисления площадей параллелограмма и треугольника. Смешанное произведение, его свойства и формулы для вычисления объѐмов параллелепипеда и пирамиды, условие компланарности трёх векторов.

Понятие линейного пространства. Примеры линейных пространств. Линейно независимые вектора. Размерность и базис линейного пространства. Подпространства. Линейные преобразования, характеристические числа и собственные векторы. Понятие евклидова пространства.

Тема 5. Аналитическая геометрия.

Прямоугольная декартова система координат на плоскости и в пространстве. Уравнения линии на плоскости и поверхности в пространстве. Полярная система координат. Уравнение линии в полярной системе координат.

Прямая на плоскости. Общее уравнение прямой на плоскости, уравнение в отрезках, каноническое уравнение. Нормальный и направляющий векторы для прямой на плоскости. Расстояние от точки до прямой. Угол между прямыми на плоскости.

Плоскость в пространстве. Общее уравнение плоскости в пространстве, уравнение в отрезках. Нормальный вектор плоскости. Угол между плоскостями. Прямая линия в пространстве: общие уравнения, канонические уравнения, направляющий вектор. Угол между двумя прямыми в пространстве, угол между прямой и плоскостью. Взаимное расположение плоскостей и прямых.

Кривые второго порядка (эллипс, гипербола, парабола), канонические уравнения, форма, эксцентриситет. Преобразования прямоугольных координат на плоскости. Общее уравнение второй степени относительно и и определяемые ими линии на плоскости. Классификация кривых второго порядка.

Поверхности 2-го порядка. Метод сечений.

Раздел 3.Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление.

Тема 6. Действительные функции и предел.

Постоянные и переменные величины. Множества, операции над множествами. Символика математической логики. Действительные числа и их свойства. Понятие окрестности точки. Отрезок, интервал, промежуток действительной прямой. Ограниченные множества. Понятие отображения (функции). Образы и прообразы множеств.

Функция, область определения, область значений, графическое изображение. Способы задания функций. Обратная функция, сложная функция. Элементарные функции.

Числовые последовательности. Ограниченные и монотонные последовательности. Свойства сходящихся последовательностей. Предел монотонной ограниченной последовательности. Число e. Предел функции. Односторонние пределы. Бесконечно большие, бесконечно малые и эквивалентные величины. Основные теоремы о бесконечно малых. Свойства пределов функций, связанные с арифметическими действиями и неравенствами. Предел сложной функции. Основные виды неопределенностей. Замечательные пределы.

Непрерывные функции. Непрерывность в точке, в интервале, на отрезке. Арифметические операции над непрерывными функциями. Непрерывность элементарных функций. Точки разрыва функции и ихклассификация. Свойства функций непрерывных на отрезке.

Тема 7. Производная и ее приложения.

Понятие производной. Геометрический и механический смысл производной. Непрерывность функций, имеющих производную. Производная суммы, произведения и частного. Производная сложной функции и обратной функции. Производные основных элементарных функций. Таблица основных производных. Дифференциал функции и его геометрический смысл. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.

Производные высших порядков. Механическое истолкование второй производной. Дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница для n-й производной от произведения двух функций. Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций.

Теоремы о дифференцируемых функциях (теоремы Ролля, Лагранжа, Коши). Правило Лопиталя. Исследование функций. Признаки возрастания и убывания функций. Максимум и минимум. Необходимое условие существования экстремума, первый и второй достаточные признаки существования экстремума. Нахождение наименьшего и наибольшего значений функции на замкнутом промежутке. Вогнутость и выпуклость графика функции, точки перегиба. Асимптоты графика функции (вертикальные, горизонтальные и наклонные). Общая схема исследования функции одной переменной. Построение графика функции на основе ее полного анализа.

Тема 8. Дифференциальное исчисление функций многих переменных.

Понятие функции нескольких переменных. Предел функции. Непрерывность. Частные производные. Дифференцируемые функции. Полный дифференциал. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл полного дифференциала. Производная сложной функции. Дифференцирование неявно заданных функций. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Производная по направлению, градиент. Экстремум функции нескольких переменных (необходимое условие). Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области.

Второй семестр

Раздел 4.Интегральное исчисление.

Тема 9. Неопределенный интеграл и методы его вычисления.

Первообразная функция. Неопределѐнный интеграл и его основные свойства. Таблица неопределенных интегралов от основных элементарных функций. Основные методы интегрирования: непосредственное интегрирование; метод замены переменной; интегрирование по частям.. Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование произвольной дробно-рациональной функции (рациональной дроби). Интегрировании тригонометрических функций специального вида (произведений степеней синуса и косинуса). Интегрирование рациональной функции, зависящей от синуса и косинуса переменной. Интегрирование некоторых иррациональных функций.

Тема 10. Определенный интеграл и его приложения.

Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Интегральные суммы. Определение и теорема существования определѐнного интеграла (без доказательства). Геометрический смысл и свойства определенного интеграла. Теоремы о среднем значении. Дифференцирование интеграла по переменному верхнему пределу. Связь определенного интеграла с неопределенным; формула Ньютона-Лейбница. Несобственные интегралы, признаки сходимости. Замена переменнойв определённом интеграле. Интегрирование по частям. Вычисление площадей плоских фигур в прямоугольных и в полярных координатах. Вычисление объёма тела по площадям параллельных сечений. Объём тела вращения. Вычисление длины дуги.