Тема 11. Кратные и криволинейные интегралы.
Задачи, приводящие к понятию кратных(двойного и тройного) интегралов. Определение двойного и тройного интеграла, их простейшие свойства. Вычислениекратныхинтегралов в декартовой системе координат (сведение к повторному). Теорема о среднем значении. Замена переменной в двойном и тройном интегралах, якобиан преобразования. Переход в двойном интеграле к полярным координатам. Переход в тройном интеграле к цилиндрическим и сферическим координатам. Практические приемы вычисления двойных и тройных интегралов. Геометрические приложения кратных интегралов. Понятие о криволинейных интегралах. Вычисление и простейшие свойства криволинейных интегралов.
Раздел 5. Ряды и гармонический анализ.
Тема 12. Числовые ряды.
Числовой ряд. Сходимость и расходимость ряда. Необходимое условие сходимости ряда. Основные свойства числового ряда. Ряды с неотрицательными членами и признаки их сходимости: оценочный признак сравнения, предельный признак сравнения, признак Даламбера, признак Коши, интегральный признак. Знакочередующиеся ряды: признаки сходимости. Признак Лейбница. Абсолютно и условно сходящиеся ряды, их свойства. Операции над рядами: сложение и умножение сходящихся рядов, группировка и перестановка членов ряда.
Тема 13. Функциональные ряды.
Функциональные ряды. Область сходимости. Степенные ряды. Теорема Абеля. Интервал, радиус и область сходимости. Свойства степенных рядов. Ряд Тейлора. Разложение в ряд элементарных функций. Применение рядов.
Тема 14. Гармонические колебания и ряды Фурье.
Гармонические колебания. Ряд Фурье. Ортогональность системы тригонометрических функций. Условия разложимости в рядФурье. Ряд Фурье на произвольном промежутке. Условия разложимости. Ряд Фурье для четных и нечетных функций. Комплексная форма ряда Фурье. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье. Спектральные функции.
Раздел 6. Дифференциальные уравнения
Тема 15.Основные понятия теории обыкновенных
дифференциальных уравнений.
Понятие дифференциального уравнения. Общее и частное решения. Общий и частный интеграл. Интегральные кривые. Задача Коши.
Дифференциальные уравнения первого порядка: общее и частное решения, интегральные кривые. Теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка, разрешённого относительно производной, при заданном начальном условии (без доказательства).Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные и линейные уравнения первого порядка, уравнения Бернулли. Геометрия дифференциальных уравнений первого порядка. Поле направлений. Метод изоклин. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.
Тема 16.Линейные дифференциальные уравнения. Системы дифференциальных уравнений.
Понятие линейного дифференциального уравнения, уравнения однородные и неоднородные. Линейно зависимые и линейно независимые функции. Определитель Вронского. Линейные однородные уравнения и свойства их решений. Теорема о структуре общего решения линейного однородного уравнения. Линейные неоднородные уравнения и теорема о структуре общего решения таких уравнений. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение, его корни и соответствующее общее решение рассматриваемого дифференциального уравнения. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами и методы, нахождения частных решений без интегрирования (метод неопределенных коэффициентов). Метод Лагранжа (метод вариации произвольных постоянных). Описание физических процессов с помощью линейных уравнений (уравнение упругих колебаний, уравнение для определения силы тока). Простейшие системы дифференциальных уравнений.
Третий семестр
Раздел 7. Основы теории функций комплексного переменного.
Тема 17. Основные понятия теории функций комплексного переменного.
Комплексные числа и различные формы их представления. Функция комплексного переменного. Предел функции. Непрерывность функции. Производная функции комплексного переменного, ее свойства. Условия Коши-Римана. Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Функция аналитическая в области и точке. Гармонические функции и их связь с аналитическими функциями.
Пути на комплексной плоскости. Определение и свойства интеграла от функции комплексного переменного, их свойства. Интеграл типа Коши. Теорема Коши. Интегральная формула Коши, приложение ее к вычислениюинтегралов. Производные высших порядков.
Тема 18. Функциональные ряды в комплексной области.
Интегрирование.
Числовые и функциональные ряды. Степенные ряды. Теорема Абеля. Ряд Тейлора. Теорема о разложении функции, аналитической в круге, в ряд Тейлора. Основные аналитические функции. Ряды Лорана. Нули и изолированные особые точки аналитических функций, их классификация. Вычеты и основная теорема о вычетах. Вычисление интегралов с помощью вычетов. Вычисление несобственных интегралов с помощью вычетов.
Тема 19. Операционное исчисление.
Преобразование Лапласа. Примеры изображений. Функция Хэвисайда. Основные теоремы об изображениях и оригиналах. Приложения операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и их систем. Теорема о свертке. Интеграл Дюамеля. Приложение их к решению дифференциальных уравнений.
Раздел. 8. Вероятность и статистика.
Тема 20. Элементарные задачи теории вероятностей.
Основные понятия. Случайные события. Алгебра событий. Классическоеопределение вероятностей. Относительные частоты. Непосредственное вычисление вероятностей. Элементы комбинаторики: размещения, сочетания, перестановки для выборок с возвращением и без возвращения. Теорема сложения и умножения вероятностей. Формулы полной вероятности. Формула Байеса. Схема повторения опытов Бернулли. Локальная и интегральная формулы Лапласа. Формула Пуассона.
Тема 21. Случайные величины. Основные законы распределения и
их интерпретации.
Случайные величины. Закон распределения дискретнойслучайнойвеличины. Функция распределения. Вероятность попадания случайной величины на заданный участок. Плотность вероятности и ее свойства. Математическое ожидание и дисперсия случайных величин; их свойства.
Нормальное распределение, его свойства. Моменты. ФункцияЛапласа, правило 3-х сигм. Законы распределения: равномерный, биномиальный, Пуассона, показательный. Вычисление математических ожиданий и дисперсий основных дискретных и непрерывных распределений.
Закон больших чисел. Неравенство и теорема Чебышева. Теорема Бернулли.
Системы случайных величин. Закон распределения системы дискретных случайных величин. Функция и плотностьраспределения. Условные законы распределения. Математические ожидания и дисперсии. Корреляционный момент. Коэффициенты корреляции. Независимые случайные величины. Нормальный закон распределения на плоскости. Линейная регрессия.
Тема 22. Обработка статистических данных и проверка гипотез.
Типичные задачи математической статистики. Генеральная совокупность и выборка. Вариационный ряд. Эмпирическая функция распределения. Гистограмма. Оценки параметров распределения генеральной совокупности (метод моментов и наибольшего правдоподобия). Свойства оценок. Доверительный интервал для математического ожидания при известной и неизвестной дисперсии нормально распределенной величины. Доверительный интервал для среднего квадратичного отклонения. Статистическая проверка гипотез. Общая постановка задачи. Проверка гипотезы о законе распределения по критерию Пирсона.
Раздел.9.Численные методы.
Тема 23. Методы решения алгебраических уравнений и систем.
О численных методах. Виды ошибок. Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса с выбором главных элементов. Решение функциональных уравнений методами половинного деления, хорд, касательных, комбинированным методом. Решение дифференциальных уравнений методами Эйлера и Рунге-Кутта.
Тема 24.Вычисление определенных интегралов. Численное
интегрирование дифференциальных уравнений.
Приближенное вычисление определенных интегралов: формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона. Решение дифференциальных уравнений методами Эйлера и Рунге-Кутта.
Раздел. 10. Моделирование.
Тема 25. Понятие математической модели. Классификация.
Тема 26. Примеры построения математической модели.
4.3. Структура и содержание дисциплины (модуля) Высшая математика
Первый семестр. Общая трудоемкость дисциплины составляет 6 зачетных единиц, 216 часов.
№ п/п | Раздел Дисциплины | Семестр | Неделя семестра | Виды учебной работы, включая самостоятельную работу студентов и трудоемкость (в часах) | Формы текущего контроля успеваемости (по неделям семестра) Форма промежуточной аттестации (по семестрам) | |||
Л | ПЗ | КР | СР | |||||
1 | Раздел. 1. Алгебра | 1 | 1-4 | 12 | 17 | 1 | 14 | |
2 | Тема 1. Алгебра матриц, определители. | 1 | 1-2 | 6 | 7 | 6 | Выдача КДЗ-1 (2 неделя) | |
3 | Тема 2. Решение систем линейных уравнений. | 1 | 3 | 4 | 6 | 6 | ||
4 | Тема 3. Комплексные числа. | 1 | 4 | 2 | 4 | 1 | 2 | |
5 | Раздел. 2. Геометрия | 1 | 5-9 | 14 | 21 | 1 | 20 | |
6 | Тема 4.Элементы векторной и линейной алгебры. | 1 | 5-6 | 6 | 8 | 8 | ||
7 | Тема 5. Аналитическая геометрия. | 1 | 7-9 | 8 | 13 | 1 | 12 | Сдача КДЗ-1 (9 неделя) |
8 | Раздел. 3 Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление. | 1 | 10-17 | 24 | 34 | 2 | 32 | |
9 | Тема 6. Действительные функции и предел. | 10-12 | 8 | 10 | 10 | Выдача КДЗ-2 (10 неделя) | ||
10 | Тема 7. Производная и ее приложения. | 1 | 13-15 | 10 | 16 | 16 | ||
11 | Тема 8. Дифференциальное исчисление функции многих переменных. | 1 | 16-17 | 6 | 8 | 2 | 6 | Сдача КДЗ-2 (16 неделя) |
12 | Подготовка к экзамену | 1 | 24 | Форма промежуточной аттестации (экзамен) | ||||
13 | ИТОГО | 1 | 50 | 72 | 4 | 90 |
Второй семестр. Общая трудоемкость дисциплины составляет 6 зачетных единиц, 216 часов.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 |
