Элементы стохастики в 5-6 классах (стр. 2 )

А теперь попробуйте определить, может ли число 9 располагаться в угловой ячейке таблицы . Если число 9 расположено в угловой ячейке, то должны существовать три различных представления числа 6 (6 = 15 - 9) в виде суммы двух слагаемых из рассматриваемого набора чисел (без 9): 6 = 1 + 5 = 2 + 4. Мы смогли представить число 6 только двумя суммами. Значит, число 9 не может быть расположено в угловой ячейке. Итак, число 5 расположено в центре таблицы, а число 9 расположено в середине крайней строки (первой или третьей) или крайнего столбца (первого или третьего). На основе проведенных рассуждений мы получаем таблицу

4	9	2
	5
	1

Табл.2

Теперь совсем просто заполнить пустые ячейки в третьей строке, дополняя суммы по диагонали до 15 или используя результаты исследования, представленные в таблице. Окончательно получаем таблицу

4	9	2
3	5	7
8	1	6

Табл.3

Существует другой магический квадрат :

6	7	2
1	5	9
8	3	4

Табл.4

Этот квадрат получен из первого заменой каждой строки соответствующим столбцом. В этом случае говорят о единственном решении.

Замечание для учителя. Проведенное достаточно сложное исследование уместно провести в хорошо подготовленном классе или при индивидуальной работе с учащимися. Целесообразно предварительно предложить это задание для домашней работы. В обычном классе можно ограничиться предъявлением ученикам магического квадрата 33 и объявлением, что такой квадрат – единственный.

После этого учитель сообщает школьникам поразительную информацию:

1)  существует 880 магических квадратов 44;

2)  существует более 200000 магических квадратов 55.

Латинские квадраты

№3. Латинским называют квадрат , в клетки которого вписываются числа от 1 до n так, что в каждой строке и в каждом столбце вписаны числа от 1 до n, и каждое число встречается только 1 раз. На рисунке 5 изображен латинский квадрат . Изобразите латинские квадраты и .

1	2	3
2	3	1
3	1	2

Табл.5

Пропедевтика стохастической линии позволяет уже в 5-6 классах начать формировать вероятностные представления, что, по мнению психологов, считается удачным.

При решении комбинаторных задач включаются такие операции мыш­ления, как: наблюдение, сравнение, обобщение, классификация. Кроме того, при решении комбинаторных задач мышление последовательно проходит все 3 этапа от наглядно-действенного (например, при решении комбинаторных задач путем систематического перебора вариантов) и наглядно-образного (например, задачи на распознавание различных видов комбинаторных соеди­нений и выбора оптимального способа решения) к словесно-логическому (на­пример, комбинаторные задачи, при решении которых необходимо привлечь элементы математической логики). Поэтому не случайно такие задачи явля­ются хорошим средством развития учащихся. Осваивая комбинаторику, уча­щиеся получают знания, необходимые при изучении теории вероятностей, при этом у них развиваются способности к вероятностному мышлению.

Выявление общего признака элементов некоторого множества (множества чисел, множества фигур).

№4. Продолжите ряд:

а) 1,4,7,10,…, …, …;

б) 1, 4, 9, 16, …, …;

в) 1,4,4,16,…, …, …;

г)1/2, -2/3, 3/4, - 4/5, …;

д) 2, 3, 7, 8, 12, 13, …;

е) 2, 5, 6, 10, 15, …

№5. Найдите «лишний» элемент в заданном множестве фигур:

а)

 

б)

в)

Рис.5

№6. Найдите «лишний» элемент в заданном множестве слов:

а) трапеция, фигура, три, точка;

б) пирамида, луч, круг, уравнение;

в) время, масса, скорость, расстояние;

г) круг, корень, правило, карандаш.

№7 Может ли быть такое число. Которое при делении на 3 даёт в остатке 1. при делении на 4 даёт в остатке 2, при делении на 5 даёт в остатке 3 и при делении на 6 даёт в остатке 4?

Таких чисел бесчисленное множество. Наименьшее из них 58: разность между делителем и остатком во всех случаях равна 2. Следовательно, если к искомому числу добавить 2, то оно разделится без остатка на любой из указанных в задаче делителей. НОК чисел 2, 3, 4, 5 и 6 есть 60. Вычитая 2, получаем 58.

Перебор элементов заданного множества и выделение тех, которые подчиняются заданному свойству.

№8. Даны числа 251, 180, 1563, 672. Подчеркните те из них, которые кратны

а) трем; б) двум; в) пяти; г) четырем.

№9. Найдите все двузначные числа, которые делятся на каждую свою цифру.

№10. Напишите наибольшее десятизначное число, в котором все цифры различны.

№ 11. Рассмотрите рисунок:

 

В

А

К	М	О

 

рис.6

Что вы можете сказать о луче АС (АО)? Найдите среди следующих утверждений верные:

а) «Точка А лежит на пересечении лучей АС и АО»;

б) «Точка А является общей»;

в) «Точка А принадлежит и лучу АС, и лучу АО».

Что общего у всех этих трех утверждений? Сколько точек выделено на луче АС? Назовите их. Сколько точек выделено на луче АО? Назовите их. Сколько всего точек выделено на лучах?

После ответа детей учителю необходимо обратить их внимание на то, что ответы на все вопросы, и последний вопрос, в частности, были получены с помощью рисунка, на котором изображены точки, некоторое их расположение, которое в математике иногда называют комбинацией. Следует обсудить, почему на вопрос «Сколько всего точек?» нельзя ответить, выполнив действие сложения: 3 + 4?

№12. Даны фигуры (рис. 7)

 

Рис.7

Укажите те фигуры, которые:

а) имеют ровно одну ось симметрии;

б) имеют ровно две оси симметрии;

в) имеют ровно три оси симметрии;

г) не имеют осей симметрии.

№13. Даны дроби:

а) Какие из этих дробей меньше ?

б) Какие из этих дробей имеют дополнение до 1, меньшее ?

в) Запишите дроби в порядке возрастания.

№14. На рисунке 8 изображены фигуры 1-8:

Рис.8

а) Найдите площадь каждой фигуры, если площадь маленького квадратика равна 1.

б) Какие из фигур имеют равные площади?