Элементы стохастики в 5-6 классах (стр. 6 )

7.  Стадион имеет 4 входа: A, B, C, D. Укажите все возможные способы, какими посетитель может войти через один вход, а выйти через другой. Сколько таких способов?

8.  В магазине продают шарфы трех цветов: белые, красные и синие. Света и Оля покупают себе по одному шарфу. Сколько существует различных вариантов покупок для этих девочек? Укажите их.

9.  Для участия в спортивных соревнованиях учитель должен отобрать пару, состоящую из одного мальчика и одной девочки из группы, состоящей из 3 девочек и 4 мальчиков. Сколько он должен просмотреть таких пар, чтобы выбрать лучшую, по его мнению, пару?

10. У вас есть 9 разных книг из серии «Занимательная математика». Сколькими способами можно:

а) расставить их на полке:

б) выбрать из них 3 для подарка;

в) подарить три из них победителям школьной олимпиады, занявшим первые три призовых места?

11. Пять подружек решили обменяться фотографиями так, чтобы у каждой из них оказались фотографии остальных подруг. Сколько фотографий для этого потребуется?

12. Сколько существует обыкновенных дробей , где a и b могут принимать значения 4,6,9?

а) Выполните это же задание при условии, что дробь – правильная;

б) Выполните это же задание при условии, что дробь – неправильная.

13. Три (четыре, пять…) зайки на лужайке пожимали друг другу лапы. Сколько всего лапопожатий было?

14. Три друга – Антон, Борис и Виктор - очень страстные футбольные болельщики.

1) Они приобрели два билета на футбольный матч. Сколько существует различных вариантов посещения футбольного матча для троих друзей?

2) Они приобрели два билета на футбольный матч на 1-е и 2-е места первого ряда стадиона. Сколько существует различных вариантов занять друзьям эти два места на стадионе? Записать все эти варианты.

3) Они купили три билета на футбол на 1-е, 2-е и 3-е места первого ряда стадиона. Сколькими способами могут занять мальчики эти места?

Решение.

Введем обозначения: используем только первые буквы в именах мальчиков А (вместо Антон), Б (вместо Борис) и В (вместо Виктор).

1) Ученики составляют все возможные наборы из трех элементов А, Б, В по два.

	А	Б	В
А	АА	АБ	АВ
Б	БА	ББ	БВ
В	ВА	ВБ	ВВ

Табл.14

Анализируем полученные пары. Из условия задачи следует, что:

а) Повторение элементов в паре не допускается (на матч идут два мальчика). Поэтому при подсчете пар в таблице не учитываются пары, содержащие одинаковые элементы;

	А	Б	В
А	АА	АБ	АВ
Б	БА	ББ	БВ
В	ВА	ВБ	ВВ

Табл.15

б) Пары АБ и БА не различаются (обе пары означают, что на матч идут Антон и Борис. Это один и тот же вариант). Следовательно, достаточно посчитать пары, расположенные по одну сторону от выделенной диагонали (пары на белом фоне).

	А	Б	В
А	АА	АБ	АВ
Б	БА	ББ	БВ
В	ВА	ВБ	ВВ

Табл.16

В результате получаем три пары: БА, ВА, ВБ.

3  Решение второй задачи опирается на предложенный авторами способ обозначения и способ перебора возможных пар, использованный в решении первой задачи. Используем результат решения первой задачи для поиска решения второй задачи.

Сначала, как всегда, проводим анализ второй задачи;

а) Повторение элементов в паре не допускается (на матч идут два мальчика). Поэтому при подсчете пар в таблице не учитываются пары, содержащие одинаковые элементы;

б) Пары АБ и БА теперь различаются (Первая пара означает, что на месте 1 сидит Антон, а на месте 2 сидит Борис. Вторая пара означает, что на месте 1 сидит Борис, а на месте 2 сидит Антон. Это – различные варианты). Следовательно, достаточно посчитать пары, расположенные по обе стороны от выделенной диагонали.

Способ перебора всех пар состоит в следующем: к указанным парам АБ, АВ, БВ следует добавить пары, полученные перестановкой элементов в каждой паре: БА, ВА, ВБ.

В итоге получаем пары: АБ, АВ, БВ, БА, ВА, ВБ.

Указание для учителя. Как мы уже отмечали в методике формирования понятий, каждое существенное свойство выглядит более отчетливо и рельефно, если оно получено в результате сравнения, противопоставления.

В ходе беседы проводится сравнительный анализ решения двух первых задач. В результате сравнения ситуаций, рассмотренных в этих задачах, их решений ученики убеждаются, что:

·  в первой задаче нас не интересовал порядок элементов в паре, т. е. пары: Антон, Борис и Борис, Антон рассматривались как одна. Они были не различимы. А вот во второй задаче порядок элементов важен: пары АБ и БА означают, что в первом случае место 1 занимает Антон, место 2 – Борис, а пара БА означает, что место 1 занимает Борис, место 2 – Антон. Именно поэтому во второй задаче пар в два раза больше.

·  На математическом языке в задаче 1 были составлены всевозможные сочетания из трех элементов по два. Рассмотренные пары:

1) отличаются лишь составом элементов,

2) порядок элементов в паре не учитывается.

В задаче 2 тоже выбирались пары элементов, но: 1) пары отличаются либо составом элементов, 2) либо порядком элементов. В комбинаторике такие пары носят название размещений из трех элементов по два.

·  Вводятся различные обозначения для пар, порядок элементов в которых не важен: А, Б, и АБ – для пар, в которых порядок элементов важен. Таким образом пары А, Б и Б, А представляют одну пару, а пары АБ и БА – различны.

Затем рассматривается решение третьей задачи. При этом используется результат решения второй задачи: на третье место предлагается сажать третьего мальчика. В результате получаются тройки: АБВ, АВБ, БАВ, БВА, ВАБ, ВБА.

·  Говоря математическим языком, в третьей задаче были рассмотрены перестановки из трех элементов – комбинации из трех элементов, отличающиеся только порядком элементов в них.

15. Вычислить скорость пешехода, если заданы расстояние и время.

	I ряд	II ряд	III ряд
S	1200 км	1,2 км	12 км
T	30 ч	30 ч	3 ч
V

Табл.17

Определите, возможна или нет рассматриваемая ситуация.

16. Охарактеризовать события, о которых идёт речь, как достоверные, невозможные или случайные:

1)  При вычислении суммы чисел 28 и 16 получили число, кратное 2 (3, 5, 6, 9, 10, 25).

2)  При сложении любых двух чётных чисел получается чётное число.

3)  Сегодня будний день.

4)  Мой друг родился 30 февраля.

5)  Попугай научится говорить.

6)  Летние каникулы начнутся 1 августа.

7)  Дуб – вечнозелёное дерево.

8)  Зимой все животные впадают в спячку.

9)  Россия имеет три символа государственной власти: герб, флаг, гимн

10)  Двух друзей спросят сегодня на уроке математики

11)  Сегодня с утра ясно. К вечеру обязательно пойдёт дождь.

17. Из трёх разноцветных пуговиц: красной, синей и зеленой (К, С, З) наугад выбирают одну. Оцените шансы на успех каждого из данных событий. Расположите ответы на задания А – Д на данном отрезке

А: выбранная пуговица – синяя;

Б: выбранная пуговица – красная, синяя или зелёная;

В: выбранная пуговица – жёлтая;

Г: выбранная пуговица – не зелёная;

Д: выбранная пуговица – не чёрная.

18.  1

Невозможное событие	Достоверное событие

 

Рис.26

18. Из интервала (-3; -1) наугад взяли число. Оцените вероятность каждого из событий:

1) Число оказалось натуральным;

2) Число оказалось целым;

3) Число оказалось смешанным.

19. Заполните таблицы.

1)  «Моё настроение» (с помощью смайликов). По данным таблицы определите, что больше влияет на Ваше настроение: день недели или время суток.

	Понедельник	Вторник	Среда	Четверг	Пятница	Суббота	Воскресенье
Утро
День
Вечер

Табл.18

2)  «Погода за неделю» ( ясно, пасмурно, дождь, снег...).

	Понедельник	Вторник	Среда	Четверг	Пятница	Суббота	Воскресенье
Утро
День
Вечер

Табл.19