Элементы стохастики в 5-6 классах (стр. 3 )

в) Изобразите еще три фигуры, площадь каждой из которых равна 8.

Составление комбинаций из нескольких элементов, обладающих заранее заданными свойствами (трудность в работе над задачами данног вида заключается в том, что они не алгоритмизируемы, т. е. каждая задача требует своего специфического подхода к нахождению решения).

№15. Даны числа: 1, 2, 3, 4.

а) Составьте из этих чисел и запишите все правильные дроби;

б) Составьте из этих чисел и запишите все неправильные дроби;

в) Укажите числа, меньшие среднего арифметического данных чисел;

г) Какие из данных чисел являются делителями числа 12?

д) Какие из данных чисел кратны числу 2?

№16. Запишите все возможные двузначные и трехзначные числа с помощью цифр 7 и 8.

Рис. 9

Двузначные числа: 77, 78, 87, 88

Рис. 10

Трёхзначные числа: 777, 778, 787, 788, 877, 878, 887, 888

№17. Дана группа ребят, состоящая из трех человек: Аня, Боря и Витя.

а) Какие группы из двух человек можно составить из них для уборки класса? Сколько таких групп получилось?

Рис.11

Получившиеся группы дежурных: Аня-Боря (Боря-Аня); Аня-Витя (Витя-Аня); Боря-Витя (Витя-Боря)

б) Запишите, в какой последовательности могут занять эти ребята очередь в школьный буфет. Сколько различных вариантов?

Рис.12

Возможные варианты: Аня – Боря – Витя; Аня – Витя – Боря; Боря – Аня – Витя; Боря – Витя – Аня; Витя – Аня – Боря; Витя – Боря – Аня.

№18. Точки С и К разбивают отрезок АВ на 3 части. Укажите все отрезки с концами в точках А, В, С и К. Сколько их?

Рис.13

Отрезки: АС(СА), АВ(ВА), АК(КА),СК(КС), СВ(ВС), КВ(ВК).

№19. Сколько треугольников изображено на рисунке 14?

Рис.14

№ 20. Распределить 24 человека так, чтобы получилось 6 рядов по 5 человек в каждом.

Многим детям не хватает интеллектуальных сил отвлечься от реального, наглядно поражающего несовпадения условия и результата этого «парадоксального» задания, поэтому их первая реакция выражается обычно следующими словами: «Такого не может быть! Если 24 разделить на 6, получится 4, но никак не 5! (Или по 5 взять 6 раз будет 30, но не 24!) Задача не имеет решения!»

Важно убедить детей в том, что речь тут идет совсем не о числах, а о комбинации, определяющий признак которой в том, что состоит она из 24 элементов, из которых можно построить 6 рядов по 5 элементов в каждом.

Очевидно, не каждый ребенок сможет найти решение задачи:

Рис.15

№21. Расставить в комнате 8 стульев так, чтобы у каждой стены стояло по 3 стула.

Перемещение (расстановка) цифр (скобок, знаков действий), записанных арабскими (или римскими) цифрами с целью создания верного равенства.

№22. В данной записи расставьте скобки так, чтобы получилось верное равенство:

а) 79 + 12:32=23; б) ; в) ;

г) 1+75

№23. В неверном равенстве 101-102=1 передвиньте одну цифру так, чтобы получилось верное равенство.

№24. В записи 1 2 3 4 5 6 7 8 9 =100 поставьте между некоторыми цифрами знак "+" или ""так, чтобы получилось верное равенство.

№25. Если между двумя двойками знак сложения заменить знаком умножения, то результат не изменится: 2+2 = 22. Нетрудно подобрать и 3 числа, обладающих таким же свойством, а именно: 1+2+3 = 123. Есть и 4 однозначных числа, которые, будучи сложены или умножены друг на друга, дают один и тот же результат (1+1+2+4 = 1124). Найдите 5, 6, 7 однозначных чисел, обладающих тем же свойством.

№ 26. Перед вами 7 строк последовательно расположенных цифр:

1  2 3 =1

1  2 3 4 =1

1  2 3 4 5 =1

1  2 3 4 5 6 =1

1 2 3 4 5 6 7 =1

1 2 3 4 5 6 7 8 =1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 =1

Не меняя порядка расположения цифр, поставьте между ними знаки арифметических действий с таким расчётом, чтобы в результате этих действий в каждом ряду получилось бы по 1. Действия должны выполняться в порядке следования – слева направо, так что сложение, например, может предшествовать умножению. При записи в этом случае, как вы знаете, следует ставить скобки. Если понадобиться, то две рядом стоящие цифры можно считать двузначным числом.

Лингвистические задачи

№27. Подсчитать число однобуквенных слов русского языка.

При обсуждении решения учитель обращает внимание учащихся на то, что смысл этого задания - в показе преимущества организо­ванного, систематического перебора вариантов. Не нужно перечислять однобуквенные слова произвольно, по принципу «что придет на ум». Нужна сис­тема: учащиеся берут алфавит, просматривают буквы одна за другой и анали­зируют, употребляется ли данная буква как отдельное слово, или нет.

№28. Расшифровать запись:

СИНИЦА 342457

+ СИНИЦА + 342457

ПТИЧКИ 684914

При решении комбинаторных задач данного вида учащиеся сначала используют хаотичный перебор, при этом их типичными ошибками являются пропуск вариантов, их повторение и т. д. Постепенно они осознают необходимость в системном переборе, но испытывают затруднения в отыскании логики перебора вариантов. И здесь очень важна роль учителя, который должен обратить внимание ребят на необходимость применения различных свойств натуральных чисел.

Разрезание, разбиение, разделение целого на определенные части

№29.Укажите несколько способов разделения квадрата на четыре равные части.

№30. Сколькими способами можно представить:

а) число 74 в виде суммы квадратов двух чисел;

б) число 50 в виде суммы двух чётных чисел;

в) число 10 в виде суммы четырёх нечётных чисел?

Составление “из частей” целого объекта с заданными свойствами.

№31. С помощью цифр 1, 2, 3 (используя каждую только по одному разу) записать все трехзначные числа, кратные 4.

№32. На координатной плоскости (рис.16) даны точки А(-3;2) и В(-3;-3).

а) Отметьте точки С и К так, чтобы четырёхугольник АВСК был квадратом. Сколько решений имеет задача? Укажите координаты точек , и , ;

б) Из многоугольников с вершинами в точках А, В, , , , укажите те, которые имеют осью симметрии прямую АВ.

Рис. 16

№33. Напишите различные нечетные двузначные числа, используя только цифры 2, 3 и 7. Рассмотрите два случая: а) цифры в числе могут повторяться;

б) цифры в числе не повторяются. Сколько чисел получилось в каждом случае?

№34. Сколько всего бабушек и дедушек было у всех твоих бабушек и дедушек?

№35. Длины сторон прямоугольника - натуральные числа, а периметр и площадь выражаются одним и тем же числом. Найдите все такие прямоугольники.

Задачи на спичках

Из спичек можно составить всевозможные прямолинейные фигуры; превращать одну фигуру в другую путём перекладывания спичек. Трудность в работе над задачами данного вида заключается в том, что они не алгоритмизируемы, т. е. каждая задача требует своего специфического подхода к нахождению решения. Однако эти задачи необходимо идентифицировать как комбинаторные, в которых требуется подтвердить или опровергнуть существование комбинации элементов. При «неформальном» методе решения на первый план выходит сам процесс составления различных вариантов. И ответ на вопрос «Сколько возможных вариантов?» получается из ответа на вопрос «Какие варианты могут получиться?». Учащиеся 5 -6 классов решают комбинаторные задачи «неформальным» методом, к которому относится прием перебора (хаотичного или системного).

№ 36. Сколько одинаковых квадратов можно составить из 24 спичек, не ломая их и используя при этом все спички?

Если на каждую сторону квадрата употребить по 6 спичек (больше нельзя), то получиться один квадрат. При стороне квадрата в 5 или в 4 спички одинаковых квадратов из всех 24 спичек не получиться. При стороне в 3 спички можно выложить два квадрата.