Элементы стохастики в 5-6 классах (стр. 5 )

C

Рис.25

Учитель задаёт наводящий вопрос: «А можно ли расположить данные точки иначе?». В результате ребята предлагают новые варианты расположения точек на прямой. Путём перебора выясняются все возможные варианты:

A-B-C B-A-C C-A-B

A-C-B B-C-A C-B-A

Во избежание формализма достаточно предложить школьникам изобразить тот или иной вариант расположения точек.

№50. Сколькими способами можно обозначить вершины данного треугольника используя только буквы A, B, C?

Решение. Для представления решения целесообразно использовать следующую таблицу:

№ п/п	Вершины треугольника
Первая	Вторая	Третья
1	А	В	С
2	А	С	В
3	В	А	С
4	В	С	А
5	С	А	В
6	С	В	А

Табл.9

О т в е т: Шестью.

Во избежание формализма достаточно предложить школьникам изобразить тот или иной вариант обозначения вершин треугольника, предварительно договорившись, какую вершину считать первой, какую – второй и какую – третьей.

№51. Сколькими способами можно обозначить вершины данного четырехугольника, используя буквы A, B, C и D?

№ 52. Точки А и В лежат на прямой а. Важен или нет порядок букв в следующих обозначениях:

а) Отрезок АВ, отрезок ВА;

б) Луч АВ, луч ВА;

в) Прямая АВ, прямая ВА.

№53. Аня выписывает в порядке возрастания все пятизначные числа, состоящие из цифр 0, 1 и 2. Сколько всего чисел она выпишет? Какое число будет первым? Какое - последним? Какое число она запишет после числа 20122? А перед ним?

№54. В автомобильном номере записываются подряд буква, три цифры, две буквы. Сколько таких номеров можно составить, если использовать буквы А, В,Е, К,М, Н,О, Р,С, Т,У, Х?

№55. Даны точки, которые можно обозначить буквами: а) A и B; б) A, B, C и D; в) A, B, C, D, E и F. Запишите все возможные варианты обозначения отрезков с концами в данных точках.

Решение. Рассмотрим первый случай. Одну из данных точек будем считать первой, а другую – второй. В первом столбце рассматриваются возможные обозначения для первой точки, а в первой строке – соответствующие обозначения для второй точки. Понятно, что повторения в наборах не допускаются. Поэтому в табличном представлении наборов диагональные ячейки не рассматриваются. А значит, в случае «а» получаются всего два возможных набора: АВ и ВА. Эти наборы в заданных условиях различимы.

	А	В
А		АВ
В	ВА

Табл.10

Рассуждая аналогично, в случае «в» ученики получают следующую таблицу. Подсчет вариантов состоит в вычислении значения выражения:

42 – 4 = 12.

	A	B	C	D
A		AB	AC	AD
B	BA		BC	BD
C	CA	CB		CD
D	DA	DB	DC

Табл.11

Следует обратить внимание школьников на симметричность таблиц относительно выделенной диагонали, т. к. эта особенность может в дальнейшем «сработать»: в условиях, когда пары АВ и ВА не будут различаться, достаточно подсчитать количество наборов, лежащих по одну сторону от выделенной диагонали.

Усвоив характерные особенности построенных таблиц и выражения для подсчета числа вариантов, школьники смогут (возможно, и без таблицы) найти ответ для случая «в»: 72 - 7 = 42.

Во втором случае после введения разъяснений и уточнений получаются ответы: а) 1; б) 6; в) 21.

Подсчет вариантов в рассмотренной задаче, по существу, является вычислением значений выражения при n=2, n=4, n=6.

№56. Дан выпуклый четырехугольник, вершины которого можно обозначить буквами: A, B, C, D (повторения не допускаются).

а) Сколькими способами можно обозначить четырехугольник?

б) Сколькими способами можно обозначить четырехугольник, если добавить к данным еще две буквы: E и F?

в) Сколькими отрезками можно соединить попарно 4 точки (никакие три из которых не лежат на одной прямой) на плоскости?

Решение. а) Изобразим произвольный четырехугольник. Можно любую вершину этого четырехугольника считать первой, одну из оставшихся трех – второй, далее фиксируются третья и четвертая вершины. Все возможные варианты обозначения вершин четырехугольника представлены в приведенной ниже таблице.

№ п/п	Вершина
первая	вторая	третья	четвертая
1	А	В	С	D
2	А	В	D	С
3	А	С	В	D
4	А	С	D	В
5	А	D	С	В
6	А	D	В	С
7	В	А	С	D
8	В	А	D	С
9	В	С	А	D
10	В	С	D	А
11	В	D	А	С
12	В	D	С	А
13	С	А	В	D
14	С	А	D	В
15	С	В	А	D
16	С	В	D	А
17	С	D	А	В
18	С	D	В	А
19	D	А	В	С
20	D	А	С	В
21	D	В	А	С
22	D	В	С	А
23	D	С	А	В
24	D	С	В	А

Табл.12

№57. Сколько прямых проходит через различные пары из трёх точек, не лежащих на одной прямой?

№58. Сколько прямых проходит через различные пары из четырёх (пяти) точек, ни какие три из которых не лежат на одной прямой?

№59. На сколько частей разбивают плоскость две (три) прямые, пересекающиеся в одной точке?

Для формирования статистических умений фиксировать, подсчитывать и систематизировать собираемые данные используется следующая практическая работа учителя с классом.

После проверки очередной контрольной работы учитель показывает, как он анализировал ее результаты, предварительно заполняя частотную таблицу.

Отметка	Подсчет случаев (частот)	Кол-во отметок (частота М)
2	\	1
3	\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \	11
4	\ \ \ \ \ \ \ \	8
5	\ \ \ \	4

Табл.13

а) Какая отметка появлялась чаще, какая – реже?

б) Какова частота появления отметки “4”, отметки “ 2”?

в) Чему равна сумма частот появления отметок?

г) Какую часть всех учащихся составляют те, кто получил за контрольную работу отметку “5”? “4”? “3”? “2”?

Задания для самостоятельного решения

1.  Из трёх учеников класса: Аня, Игорь, Света учитель выбирает двоих для участия в конкурсе "Лучший счётчик". Какие пары можно составить?

2.  В клетки квадратной таблицы 2x2 произвольно ставят крестики и нолики. Сколькими способами можно заполнить эту таблицу?

3.  В кафе предлагают два первых блюда: борщ и рассольник – и четыре вторых блюда: гуляш, котлеты, сосиски, пельмени. Укажите все обеды из двух блюд, которые может заказать посетитель.

4.  «Проказница Мартышка, Осёл, Козёл и косолапый Мишка затеяли сыграть квартет». Сколькими способами они могут распределить четыре имеющихся у них инструмента?

5.  Важен или нет порядок в следующих выборках (комбинациях):

а) капитан волейбольной команды и его заместитель;

б) три ноты в аккорде;

в) «шесть человек останутся убирать класс!»;

г) две серии для просмотра из нового многосерийного фильма.

6.  Придумайте сами четыре различные ситуации, в двух из которых порядок выбора важен, а в двух – нет.