Элементы стохастики в 5-6 классах (стр. 1 )

Элементы стохастики в 5-6 классах

Часть 1

Методические рекомендации

В изучении стохастического материала в школе можно условно выделить несколько этапов, первый из которых – пропедевтический. К нему относится работа по формированию первоначальных комбинаторных, вероятностных и статистических представлений у учащихся 5 – 6 классов.

Содержание проводимой работы определяется следующим образом.

♦ Комбинаторика. Решение комбинаторных задач перебором возможных вариантов (сначала неупорядоченным, а потом – упорядоченным). Количество элементов в наборах постепенно увеличивается. Различные способы представления решения задач: таблица, дерево возможных вариантов.

♦ Вероятность. Понятия достоверного, невозможного, случайного события. Сравнение шансов наступления случайных событий на основе интуитивных соображений и предшествующего опыта. Представление о разных подходах к определению вероятности события.

♦ Статистика. Чтение таблиц и диаграмм. Сбор, регистрация статистических данных, представление их в виде таблиц, диаграмм. Среднее арифметическое как характеристика числового ряда.

При этом:

1.  мотивация введения того или иного понятия должна быть хорошо продумана;

2.  в пропедевтическом курсе формируются первоначальные представления всех составляющих стохастической линии (комбинаторной, вероятностной и статистической);

3.  на этапе пропедевтики пока не раскрываются взаимосвязи между составляющими стохастической линии;

4.  при рассмотрении любого материала стохастической линии необходима постоянная опора на жизненный опыт учащихся;

5.  отдельные определения понятий или их описания формулируются лишь на основе рассмотрения доступных школьникам, интересных и адекватных примеров;

6.  на этапе пропедевтики надо постараться избегать неоправданного применения формул, сделать его «доформульным»;

7.  если в начальной школе комбинаторные задачи решаются перебором возможных вариантов, осуществляемых путём предметной деятельности с конкретными вещами, то в 5-6-х классах необходимо перейти к кодированию предметов с помощью букв или чисел;

8.  представления о вероятности того или иного события формировать при обсуждении ответов на вопросы типа: «У какого из событий больше (меньше) шансов на успех?», «Что вероятнее?» и т. п.;

9.  понятие вероятности события при классическом подходе базируется на предварительно сформированном представлении о равновозможных элементарных событиях. Эти представления формируются в процессе обсуждения мысленных экспериментов с «правильными», идеальными монетами, кубиками и др., т. е. при моделировании воображаемых условий испытания, которые определяют конечное множество равновозможных исходов;

10.  следует знакомить школьников с ситуациями, экспериментами, исходы которых не являются равновозможными. Необходимо обсудить с учениками исходы мысленных экспериментов с «неправильной» монетой, «неправильным» игральным кубиком (например, со смещенным центром тяжести);

11.  проводя опыты со случайными исходами, школьники могут заметить, что некоторые события происходят чаще или реже относительно других. На этой основе можно сформировать представление о частоте случайного события. Эти представления позволят без заметных затруднений перейти в дальнейшем к статистическому определению вероятности;

12.  при наличии времени (например, в конце учебного года) хороший эффект дает проведение экспериментов со случайными исходами, дающие представление о стабилизации относительной частоты события при большом числе испытаний около некоторого числа.

13.  на конкретны примерах вводятся элементы таблицы (ячейка, строка, столбец). Ученики осваивают чтение и анализ готовых таблиц, т. е. знакомятся с приёмами работы с информацией, представленной в табличной форме, с простейшими приёмами составления таблиц;

14.  формируются умения читать и анализировать простые столбчатые, линейные и круговые диаграммы, т. е. школьники знакомятся с приемами работы с информацией, представленной в форме диаграмм;

15.  формируются первоначальные представления о приемах сбора необходимой информации, представлении полученных данных в компактной и наглядной форме. Школьники знакомятся также с основными этапами социологических опросов. Однако главным является формирование умений: 1) анализировать готовые диаграммы и таблицы и 2) делать на их основе соответствующие выводы;

16.  целесообразно уже в 5 – 6 классах начать обучение самостоятельному сбору школьниками информации о явлениях окружающей их жизни, подсчёту данных в небольших выборках.

Часть 2

Задачи и упражнения

Ряд задач, не только развивающих комбинаторное мышление учащихся, но и изучающих историю математики – задачи на составление фигурных чисел, магических и латинских квадратов. Подобные задачи решались ещё в Древнем Китае, а позднее – в Римской империи. Составление и подсчёт числа всевозможных комбинаций элементов, образованных по определённому правилу – основные направления пропедевтики комбинаторной составляющей подобных задач.

Фигурные числа

№1. В древности для подсчета элементов применялись камешки. При этом наибольший интерес представляло такое количество камешков, из которых можно составить определенную геометрическую фигуру. Такие числа стали называть фигурными.

а) На рисунке 1 изображены первые три квадратных числа. Для построения первого, второго и третьего квадратного числа понадобилось 1, 4 и 9 камешков соответственно. Изобразите следующие два квадратных числа и определите, сколько камешков понадобится для каждого из них.

Рис.1

б) На рисунке 2 изображены первые три треугольных числа. Для построения первого, второго и третьего треугольного числа понадобилось 1, 3 и 6 камешков соответственно. Изобразите следующие два треугольных числа и определите, сколько камешков понадобится для каждого из них.

Рис.2

в) Составное число можно по-разному представить в виде произведения двух чисел, каждое из которых отлично от 1: 12. Прямоугольные числа рассматриваются в качестве синонима составного числа. Каждое из них представимо в виде прямоугольника размером (m. На рисунке 3 приведены изображения прямоугольного числа 12. Приведите различные изображения прямоугольных чисел 6 и 8.

Рис. 3

г) Любое простое число назвали непрямоугольным. Его представляли в виде линии 1n. На рисунке 4 изображены непрямоугольные числа 3, 5 и 7. Изобразите еще три других непрямоугольных числа.

Рис.4

Магические квадраты

№2. Квадрат назовем магическим, если в его ячейках расставляются числа от 1 до (числа не повторяются). При этом сумма чисел по горизонтали, вертикали и по диагонали должна быть одна и та же. Проверьте:

а) существует ли магический квадрат ;

б) существует ли магический квадрат .

В случае утвердительного ответа изобразите соответствующий магический квадрат. Сколько существует таких квадратов?

Решение.

а) Нет, не существует. Если бы такой квадрат существовал, то сумма чисел по горизонтали, вертикали и по диагонали была бы равна . Но число 5 нельзя представить четырьмя способами в виде суммы двух различных слагаемых из набора: 1, 2, 3, 4 (возможны только два варианта: ).

б) Да, существует. Определим сначала, какое число расположено в центре таблицы. Пусть это число равно а (а – число от 1 до 9). Тогда разность 15 – а должна быть представима в виде четырех сумм из двух слагаемых, где ни одно слагаемое не повторяется. При активном участии учеников заполняется таблица всех таких наборов.

Число в центральной ячейке а	Различные наборы слагаемых для числа 15 – а	Подходит или нет
1	2	3	4
9	1+5	2+4	-	-	Нет
8	1+6	2+5	3+4	-	Нет
7	2+6	3+5	-	-	Нет
6	1+8	2+7	4+5	-	Нет
5	1+9	2+8	3+7	4+6	Да
4	2+9	3+8	5+6	-	Нет
3	4+8	5+7	-	-	Нет
2	4+9	5+8	6+7	-	Нет
1	5+9	6+8	-	-	Нет

Табл. 1