Всероссийская олимпиада школьников 2017-2018 (стр. 5 )

Таня перемножила 20 двоек, а Ваня перемножил 17 пятёрок. Теперь они собираются перемножить свои огромные числа. Какова будет сумма цифр произведения?

Ответ. 8.

Решение. Всего перемножается 20 двоек и 17 пятёрок. Переставим

сомножители, чередуя двойки и пятёрки. Получится 17 пар 2 · 5 и ещё три двойки, дающие в произведении 8. Итак, число 8 нужно 17 раз умножить на 10. Получается число, состоящее из цифры 8 и 17 нулей. Сумма цифр равна 8.

Другой способ записи тех же рассуждений можно получить, используя свойства степеней:

220 ×517 = 23 × 217 ×517 = 8× (2 ×5)17 = 8×1017 = 800 000 000 000 000 000.

Балл	Критерии оценивания
7	Любое полное верное решение
5	Верный ход решения, получено верное произведение, но сумма цифр не указана
2	Сделана группировка двоек и пятёрок по парам, дающим десятки, но ответ не получен или получен неверно
0	Полностью неверное решение или решение отсутствует

Задача 4 (7 б.) Разность квадратов двух чисел равна 6, а если уменьшить каждое из этих чисел на 2, то разность их квадратов станет равна 18. Чему равна сумма этих чисел?

Балл	Критерии оценивания
7	Полное верное решение
6	Задача решена, но есть мелкие замечания к решению
5	Решение доведено до конца, при этом допущена одна вычислительная ошибка
3	Верно найдена разность a – b , дальнейших продвижений нет
2	Только верный ответ без обоснования — 2 балла.
0	Полностью неверное решение или решение отсутствует

Задача 5 (7 б.) В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АВ на стороне СВ выбрана точка D так, что CD = AC – AB. Точка М — середина AD. Докажите, что угол BMC — тупой.

Балл	Критерии оценивания
7	Полное верное доказательство
6	Задача решена, но есть мелкие замечания к решению
5	Решение в целом верное, но опирается на недоказанные утверждения
3	Сделан правильный чертеж. Доказано, что треугольник ABD равнобедренный, но больше продвижений нет
0	Решение отсутствует

Всероссийская олимпиада школьников 2017-2018

Школьный этап

Математика

9 класс

Продолжительность - 60 минут

Задача 1 (7 б.)

У Васи есть карточки с цифрами 1, 2, 3 и 4 – по две с каждой цифрой. Он хочет сложить из них число так, чтобы между двумя единицами была одна цифра, между двойками – две цифры, между тройками – три, а между четверками – четыре. Укажите какое-нибудь число, которое может получить Вася.

Задача 2 (7 б.)

Постройте график функции .

Задача 3 (7 б.)

Прямоугольный участок выложен квадратными плитками. Если длину и ширину участка увеличить на 7 плиток, то общее число плиток станет в 3,5 раза больше числа плиток, которые будут лежать вдоль периметра участка. Сколько всего плиток на участке?

Задача 4 (7 б.) Решите уравнение: (x2 − x − 1)2 − x3 = 5

Задача 5 (7 б.) Дима должен был попасть на станцию в 18:00. К этому времени за ним должен был приехать отец на автомобиле. Однако Дима успел на более раннюю электричку и оказался на станции в 17:05. Он не стал дожидаться отца и пошёл ему навстречу. По дороге они встретились, Дима сел в автомобиль, и они приехали домой на 10 минут раньше рассчитанного времени. С какой скоростью шёл Дима до встречи с отцом, если скорость автомобиля была 60 км/ч?

Ключи, критерии оценивания

школьного этапа Всероссийской олимпиады школьников

2017-2018 учебный год

Математика 9 класс

За одну задачу выставляется максимум 7 баллов. Ниже вместе с ключами приведены указания по оценке каждого задания.

При проверке и оценивании заданий олимпиады жюри может руководствоваться следующими общими критериями:

7 баллов – задача решена правильно;

6 баллов – задача решена, но есть мелкие замечания к решению (например, в решении есть 1, 2 недочета или не рассмотрены некоторые простые частные случаи);

5 баллов – решение в целом верное, но неполное (содержит все основные идеи, но не доведено до конца ИЛИ опирается на недоказанные утверждения ИЛИ рассмотрены не все частные случаи) ИЛИ же решение содержит ряд легкоустранимых ошибок;

3-4 балла – задача решена «наполовину», т. е. ход решения правильный, есть значительный прогресс в решении, но полное решение требует дополнительных существенных идей;

1-2 балла – задача не решена, но подход к решению правильный ИЛИ задача решена для простых частных случаев ИЛИ есть ответ, но нет никакого обоснования;

0 баллов – решение задачи неправильное и не содержит идей  с помощью которых задача может быть решена, ИЛИ задача не решалась.

Задача 1 (7 б.) У Васи есть карточки с цифрами 1, 2, 3 и 4 – по две с каждой цифрой. Он хочет сложить из них число так, чтобы между двумя единицами была одна цифра, между двойками – две цифры, между тройками – три, а между четверками – четыре. Укажите какое-нибудь число, которое может получить Вася.

Ответ: 41312432 или 23421314.

7 баллов – за любое верное решение

0 баллов – решение задачи неправильное

Задача 2 (7 б.)

Решение

Постройте график функции .

.

у = 3 – х, где х 2.

Критерии проверки:

7 баллов – решение верное, график построен правильно;

6 баллов – есть мелкие замечания к решению;

4 балла − верно указано О. О.Ф., но график построен без выколотой точки;

1 балл – построен график без выколотой точки (ООФ не указана);

0 баллов − решение задачи полностью неправильное ИЛИ задача не решалась.

Задача 3 (7 б.) Прямоугольный участок выложен квадратными плитками. Если длину и ширину участка увеличить на 7 плиток, то общее число плиток станет в 3,5 раза больше числа плиток, которые будут лежать вдоль периметра участка. Сколько всего плиток на участке?

Решение:

Пусть m× n размер участка. Тогда после добавления плиток их количество станет равным (m + 7)(n +7). Количество плиток, расположенных вдоль периметра, будет равно 2m + 2n + 24: по (m + 7) плиток вдоль двух сторон и по n + 5 плиток дополнительно вдоль двух оставшихся сторон (во второй сумме –2 чтобы 2 раза не учитывать угловые плитки).

По условию (m + 7)(n + 7) = 3,5(2m + 2n + 24), откуда mn + 7n + 7m + 49 = 7m + 7n + 84, то есть mn = 35.

Ответ: 35 плиток.

Критерии проверки:

7 баллов – полное верное решение;

6 баллов – есть мелкие замечания к решению;

3-4 балла – задача решена «наполовину», т. е. ход решения правильный, есть значительный прогресс в решении, но решение не доведено но конца;

ход решения верный, но допущена вычислительная ошибка, которая повлияла на ответ;

1 балл – получен правильный ответ без каких-либо обоснований;

0 баллов − решение задачи неправильное ИЛИ задача не решалась.

Задача 4 (7 б.) Решите уравнение: (x2 − x − 1)2 − x3 = 5

Ответ.

Решение: (x2 − x − 1)2 − 4 − x3 −1 = 0

(x2 − x − 1 − 2) (x2 − x − 1 + 2) – (x3 +1) = 0

(x2 − x − 3) (x2 − x + 1) – (x +1) (x2 − x + 1) = 0

(x2 − x + 1) ( x2 − 2x − 4) = 0

x2 − x + 1 = 0 или x2 − 2x − 4 = 0

нет корней

Критерии проверки:

7 баллов – полное верное решение;

5 баллов – решение в целом верное, содержит ряд легкоустранимых ошибок;

4 балла – задача решена «наполовину», т. е. ход решения правильный, есть значительный прогресс в решении

3 балла – ход решения верный, но допущена ошибка, из-за нее решение не доведено до конца;

0 баллов − решение задачи неправильное ИЛИ задача не решалась.

Задача 5 (7 б.) Дима должен был попасть на станцию в 18:00. К этому времени за ним должен был приехать отец на автомобиле. Однако Дима успел на более раннюю электричку и оказался на станции в 17:05. Он не стал дожидаться отца и пошёл ему навстречу. По дороге они встретились, Дима сел в автомобиль, и они приехали домой на 10 минут раньше рассчитанного времени. С какой скоростью шёл Дима до встречи с отцом, если скорость автомобиля была 60 км/ч?