Всероссийская олимпиада школьников 2017-2018 (стр. 7 )

Школьный этап

Математика

11 класс

Продолжительность - 60 минут

Задача 1 (7 б.) Делится ли 112017 + 112018 + 112019 на 19

Задача 2 (7 б.) Постройте график функции:

Задача 3 (7 б.)

За лето однокомнатная квартира подорожала на 21%, двухкомнатная – на 11%, а суммарная стоимость квартир – на 15%. Во сколько раз однокомнатная квартира дешевле двухкомнатной?

Задача 4 (7 б.) Дан куб. A, B и C − середины его рёбер (см. рисунок). Чему равен угол ABC?

Задача 5 (7 б.)

Числа образуют арифметическую прогрессию.

Верно ли, что числа a2; b2; c2 также образуют арифметическую прогрессию?

Ключи, критерии оценивания

школьного этапа Всероссийской олимпиады школьников

2017-2018 учебный год

Математика

11 класс

За одну задачу выставляется максимум 7 баллов. Ниже вместе с ключами приведены указания по оценке каждого задания.

При проверке и оценивании заданий олимпиады жюри может руководствоваться следующими общими критериями:

7 баллов – задача решена правильно;

6 баллов – задача решена, но есть мелкие замечания к решению (например, в решении есть 1, 2 недочета или не рассмотрены некоторые простые частные случаи);

5 баллов – решение в целом верное, но неполное (содержит все основные идеи, но не доведено до конца ИЛИ опирается на недоказанные утверждения ИЛИ рассмотрены не все частные случаи) ИЛИ же решение содержит ряд легкоустранимых ошибок;

3-4 балла – задача решена «наполовину», т. е. ход решения правильный, есть значительный прогресс в решении, но полное решение требует дополнительных существенных идей;

1-2 балла – задача не решена, но подход к решению правильный ИЛИ задача решена для простых частных случаев ИЛИ есть ответ, но нет никакого обоснования;

0 баллов – решение задачи неправильное и не содержит идей  с помощью которых задача может быть решена, ИЛИ задача не решалась.

Задача 1. (7 б.) Делится ли 112017 + 112018 + 112019 на 19

112017 + 112018 + 112019 = 112017 ∙(1 + 11 + 112) = 112017 ∙133 = 112017 ∙19 ∙7

Критерии:

7 б. – полное, верное решение

2 б. – Вынесено за скобки число 112017 , но число в скобках посчитано с ошибкой и поэтому утверждается, что выражение не делится на 19.

0 б. – Приведён только ответ «да» или решение отсутствует

Задача 2. (7 б.) Постройте график функции:

Решение:

= 4

Поэтому графиком будет прямая, заданная уравнением у = 4

Критерии оценивания:

·  7 баллов – задача решена правильно;

·  6 баллов – задача решена, но есть мелкие замечания к решению;

·  4-3 балла – задача решена “наполовину”

·  0 баллов – решение задачи неправильное и не содержит идей  с помощью которых задача может быть решена, ИЛИ задача не решалась.

Задача 3. (7 б.) За лето однокомнатная квартира подорожала на 21 %, двухкомнатная

на 11 %, а суммарная стоимость квартир − на 15 %. Во сколько раз однокомнатная квартира дешевле двухкомнатной?

Ответ. В полтора раза.

Решение. Пусть однокомнатная квартира стоила a рублей, двухкомнатная — b рублей. Тогда из условия задачи следует, что 1,21a + 1,11b = 1,15(a + b), откуда 1,5a = b.

Критерии:

Любое полное верное решение — 7 баллов.

Получено нужное уравнение с двумя переменными, а далее из уравнения

сделаны неверные выводы или не сделано никаких выводов, — 3 балла.

Решение, в котором рассмотрены конкретные цены квартир, — 2 балла.

Только верный ответ — 0 баллов.

Задача 4. (7 б.) Дан куб. A, B и C — середины его рёбер (см. рисунок). Чему равен угол ABC?

Ответ: 120о

1 способ. Проведем диагонали DЕ||ВС и EF||AB и пусть К – точка на продолжении диагонали DE за точку Е (см. рис.). Тогда АВС = FEK. Но треугольник DEF – равносторонний, поэтому DEF = 60о, а значит, FEK = 120о.

Критерии проверки.

7 баллов – получен верный ответ со всеми обоснованиями.

5 баллов – ход решения правильный, но ответ неверен из-за арифметической ошибки.

4 балла баллов – ход решения правильный, получен ответ 60о.

1 балл баллов – только ответ.

0 баллов – решение задачи полностью неверное ИЛИ задача не решалась.

Задача 5. (7 б.) Числа образуют арифметическую прогрессию. Верно ли, что числа a2; b2; c2 также образуют арифметическую прогрессию?

Решение:

Критерии:

7 баллов – задача решена правильно;

6 баллов – задача решена, но есть мелкие замечания к решению

3-4 балла – задача решена «наполовину», т. е. ход решения правильный, есть значительный прогресс в решении, но полное решение требует дополнительных существенных идей;

0 баллов – решение задачи полностью неверное ИЛИ задача не решалась.