Всероссийская олимпиада школьников 2017-2018 (стр. 6 )

Ответ. 6 км/ч.

Решение. Дима приехал домой на 10 минут раньше, за это время автомобиль

дважды проехал бы путь, который Дима прошёл. Следовательно, на пути

к вокзалу отец на автомобиле сэкономил 5 минут и встретил Диму в 17:55.

Значит, Дима прошёл расстояние от вокзала до встречи с отцом за 50 минут, то есть он шёл в 10 раз медленнее автомобиля, и его скорость была 6 км/ч.

Критерии:

7 баллов − полное верное решение

5 баллов − в целом верное решение с недостаточными обоснованиями (в частности, нарисована схема движения с неполными обоснованиями).

4 балла − верный ход решения, но неверный ответ из-за арифметической ошибки.

2 балла − найдено, что время встречи 17:55, а дальше продвижений нет.

2 балла − найдено, что отец по дороге к вокзалу сэкономил 5 минут, но ошибочно принято, что до встречи Дима шёл 55 минут.

1 балл − приведён только верный ответ.

Всероссийская олимпиада школьников 2017-2018

Школьный этап

Математика

10 класс

Продолжительность - 60 минут

Задача 1 (7 б.) Сократите дробь

Задача 2 (7 б)

Пусть D – дискриминант приведенного квадратного трехчлена

x2 + ax + b. Найдите корни трехчлена, если известно, что они различны и один из них равен D, а другой равен 2D.

Задача 3 (7 б.) Постройте график уравнения:

Задача 4 (7 б.) В треугольнике АВС медиана, выходящая из вершины А, перпендикулярна биссектрисе угла В, а медиана, выходящая из вершины В, перпендикулярна биссектрисе угла А. Известно, что сторона АВ = 1. Найдите периметр треугольника АВС.

Задача 5 (7 б.)

тратил одну денежку на хлеб и квас. Когда цены выросли на 20%, на ту же денежку он приобретал полхлеба и квас. Хватит ли той же денежки ему хотя бы на квас, если цены вырастут еще на 20%?

Ключи, критерии оценивания

школьного этапа Всероссийской олимпиады школьников

2017 - 2018 учебный год

Математика 10 класс

За одну задачу выставляется максимум 7 баллов. Ниже вместе с ключами приведены указания по оценке каждого задания.

При проверке и оценивании заданий олимпиады жюри может руководствоваться следующими общими критериями:

7 баллов – задача решена правильно;

6 баллов – задача решена, но есть мелкие замечания к решению (например, в решении есть 1, 2 недочета или не рассмотрены некоторые простые частные случаи);

5 баллов – решение в целом верное, но неполное (содержит все основные идеи, но не доведено до конца ИЛИ опирается на недоказанные утверждения ИЛИ рассмотрены не все частные случаи) ИЛИ же решение содержит ряд легкоустранимых ошибок;

3-4 балла – задача решена «наполовину», т. е. ход решения правильный, есть значительный прогресс в решении, но полное решение требует дополнительных существенных идей;

1-2 балла – задача не решена, но подход к решению правильный ИЛИ задача решена для простых частных случаев ИЛИ есть ответ, но нет никакого обоснования;

0 баллов – решение задачи неправильное и не содержит идей  с помощью которых задача может быть решена, ИЛИ задача не решалась.

Задача 1 (7 б.) Сократите дробь

Решение:

=

Баллы	Критерии оценивания
7 баллов	Задача решена верно, решение обосновано.
6 баллов	Задача решена верно. Решение содержит недочеты
4 балла	Решение в целом верное. Доведено до конца. Допущена вычислительная ошибка. Ответ неверный.
3 балла	Задача решена «наполовину», т. е. ход решения правильный, есть значительный прогресс в решении, но полное решение требует дополнительных существенных идей
1 балл	Записан правильный ответ без обоснования.
0 баллов	Ученик не приступал к решению задачи, или решение задачи неправильное и не содержит идей правильного решения.

Задача 2 (7 б)

Пусть D – дискриминант приведенного квадратного трехчлена

x2 + ax + b. Найдите корни трехчлена, если известно, что они различны и один из них равен D, а другой равен 2D.

По теореме Виета: b = D ∙ 2D = 2D2

a = − (D + 2D) = −3D

т. е. трехчлен равен x2 – 3Dx + 2D2. Его дискриминант D = (−3D)2 − 4 ∙ 2D2, откуда D = D2, т. е. D = 0 (в этом случае оба корня одинаковы и равны 0) или D = 1 (в этом случае корни равны 1 и 2).

Ответ: 1 и 2.

Баллы	Критерии оценивания
7 баллов	Задача решена верно, решение обосновано.
6 баллов	Задача решена верно. Рассмотрены оба случая. Есть мелкие замечания к решению
5 баллов	Решение в целом верное, но рассмотрен только один частный случай D = 0 или D = 1) ИЛИ же решение содержит ряд легкоустранимых ошибок
4 балла	Решение в целом верное, применена теорема Виета. Но допущена вычислительная или логическая ошибка, существенно повлиявшая на ход решения
3 балла	Задача решена «наполовину», т. е. ход решения правильный, есть значительный прогресс в решении, но полное решение требует дополнительных существенных идей;
1 балл	Записан правильный ответ без обоснования.
0 баллов	Ученик не приступал к решению задачи, или решение задачи неправильное и не содержит идей правильного решения.

Задача 3 (7 б.) Постройте график уравнения:

Заметим, что х + 2у + 1 ≠ 0, и упростим вид функции: х + 3у = х + 2у + 1; получаем, что у = 1. Кроме того, х + 2у + 1 = х + 2· 1 +1 ≠ 0 или х ≠ −3. Строим график функции у = 1. Точка А(−3; 1) не принадлежит графику уравнения

Критерии проверки:

7 баллов – решение верное, график построен правильно;

6 баллов – есть мелкие замечания к решению;

4 балла − верно указано О. О.Ф., но график построен без выколотой точки;

1 балл – упрощена функция, построен график без выколотой точки и ООФ не указана;

0 баллов − решение задачи полностью неправильное ИЛИ задача не решалась

Задача 4 (7 б.) В треугольнике АВС медиана, выходящая из вершины А, перпендикулярна биссектрисе угла В, а медиана, выходящая из вершины В, перпендикулярна биссектрисе угла А. Известно, что сторона АВ = 1. Найдите периметр треугольника АВС.

Решение.

Пусть АМ – медиана, проведённая из вершины А. Тогда в треуголь-

нике ABM биссектриса угла В перпендикулярна стороне AM, т. е. биссектриса

является и высотой. Значит, этот треугольник равнобедренный, AB = BM = 1. Но тогда ВС = 2BM = 2. Аналогично из второго условия получаем, что сторона АС два раза больше АВ, т. е. периметр треугольника АВС равен 1+ 2 + 2 = 5.

Критерии проверки.

Верное решение − 7 баллов.

Получено, что треугольник, отсекаемый одной из медиан, − равнобедренный,

но дальнейших продвижений нет − 3 балла.

Приведён только верный ответ − 1 балл.

Задача 5 (7 б.)

тратил одну денежку на хлеб и квас. Когда цены выросли на 20%, на ту же денежку он приобретал полхлеба и квас. Хватит ли той же денежки ему хотя бы на квас, если цены вырастут еще на 20%?

Решение:

Пусть первоначально квас стоил х% от денежки, а хлеб – (100 − х)%. После подорожания цен на 20%, получим следующий баланс . Отсюда . При двукратном подорожании цен эта величина увеличится в 1,44 раза и достигнет величины 96%, что меньше стоимости денежки.

Ответ. Хватит.

Баллы	Критерии оценивания
7 баллов	Задача решена верно, решение обосновано.
6 баллов	Задача решена верно. Содержит недочеты
3 балла	Есть значительный прогресс в решении, но полное решение требует дополнительных существенных идей.
1 балл	Записан правильный ответ без обоснования.
0 баллов	Ученик не приступал к решению задачи, или решение задачи неправильное и не содержит идей правильного решения.

Всероссийская олимпиада школьников 2017-2018