2. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости. Свойства степенных рядов.
3. Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора. Применение степенных рядов к приближенным вычислениям.
3.3. Ряды Фурье
1. Тригонометрическая система функций. Ряд Фурье. Разложение функции в ряд Фурье. Формулировка условий разложимости в случае равномерной сходимости.
2. Ряд Фурье для четных и нечетных функций.
IV. Элементы теории поля.
4.1. Скалярное поле
1. Определение скалярного поля и его характеристика с помощью поверхностей (или линий) уровня. Производная скалярного поля в данной точке по направлению.
2. Градиент скалярного поля и его связь с производной по направлению. Дифференциальные свойства градиента. Геометрический смысл направления градиента. Оператор набла и выражение через него градиента.
4.2. Векторное поле.
1. Определение векторного поля. Векторные линии, их дифференциальные уравнения. Векторные трубки.
2. Поток векторного поля через поверхность. Его физический смысл в случае гидродинамической интерпретации векторного поля. Методы вычисления потока проектированием поверхности на одну из координатных плоскостей, на все три координатные плоскости, с помощью криволинейных координат на поверхности (для случаев цилиндрической и сферической поверхностей).
3. Дивергенция, как плотность потока. Вывод формулы для вычисления дивергенции в декартовых координатах. Дифференциальные свойства дивергенции, выражение через оператора набла. Векторная запись формулы Остроградского.
4. Линейный интеграл векторного поля и его механический смысл. Циркуляция векторного поля. Плотность циркуляции.
5. Ротор векторного поля, его связь с плотностью циркуляции. Дифференциальные свойства ротора и их выражение через оператор набла. Векторная запись формулы Стокса.
4.3. Потенциальные и соленоидальные векторные поля.
1. Потенциальное векторное поле и его свойства. Необходимое и достаточное условие потенциальности векторного поля (в односвязных областях). Нахождение потенциала поля.
2. Соленоидальное векторное поле и его свойства, равенство нулю потока через любую замкнутую поверхность, постоянство потока через любое сечение данной векторной трубки.
V. Функции комплексного переменного.
1. Комплексные числа. Действия над ними.
2. Геометрическое изображение линий и областей на комплексной
1. плоскости.
2. Дифференциальное уравнение функций комплексного
3. переменного.
4. Интегрирование функций комплексного переменного.
5. Ряды с комплексными числами.
6. Ряды Тейлора и Лорана.
7. Особые точки, полюсы. Вычеты.
VI. Операционное исчисление.
1. Преобразование Лапласа.
2. Свойство линейности, подобия, дифференцирования оригинала.
3. Свойство дифференцирования изображения.
4. Свойства интегрирования изображения.
5. Свойства запаздывания, смещения.
6. Свертка функций. Свойства умножения изображения.
7. Отыскание оригинала по изображению.
8. Применение операционного исчисления к решению линейных
дифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами.
9. Применение операционного исчисления к решению систем
линейных дифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами.
VII. Основы теории вероятностей и математической статистики.
1. Элементы комбинаторики. Размещения, перестановки,
сочетание.
2. События. Алгебра событий. Классическое и статистическое
определение вероятности.
3. Совместные и несовместные события. Зависимые и независимые
события.
3. Теоремы сложения и умножения вероятностей.
4. Формула полной вероятности. Формулы Байеса.
5. Повторение испытаний. Формула Бернулли. Локальная и
интегральная теоремы Лапласа. Формула Пуассона.
6. Случайные величины. Дискретные и непрерывные случайные
величины.
7. Законы распределения дискретных случайных величин (ДСВ) и
их числовые характеристики (математическое ожидание,
дисперсия, среднее квадратическое отклонение).
8. Непрерывные случайные величины (НСВ). Интегральная и
дифференциальная функция распределения вероятностей НСВ.
Числовые характеристики НСВ.
9. Равномерное, нормальное и показательное распределение НСВ
и их числовые характеристики.
10. Вероятность попадания нормального распределенной НСВ в
заданный интервал.
11. Законы больших чисел. Неравенство и теорема Чебышева.
12. Основные понятия и определения статистического
распределения.
13. Выборка. Выборочный метод. Полигон. Гистограмма.
Эмпирическая функция распределения выборки.
14. Выборочные характеристики статистического распределения
(выборочная средняя, выборочное и исправленное выборочное
среднее квадратическое отклонение). Мода и медиана.
15. Оценки параметров статистического распределения. Точечные
и интервальные оценки, параметров.
16. Доверительный интервал и доверительная вероятность.
VIII. Элементы вариационного исчисления и оптимального управления.
1. Основная задача вариационного исчисления.
2. Вариация и его свойство. Вариация функционала.
3. Необходимое условие экстремума функционала. Уравнение
Эйлера.
4. Основная лемма вариационного исчисления.
1. Условие Лежандра. Условие Якоби.
2. Частные случаи нахождения экстремума функционала.
3. Экстремум функционала нескольких функций.
4. Понятие о достаточных условиях экстремума функционала. Численные методы.
5. Основная задача оптимального управления и основные понятия
(фазовое пространство, линейные и нелинейные динамические
системы, область допустимого управления, множество
допустимости).
6. Принцип максимума Понтрягина.
7. Связь между теорией оптимального управления и вариационного
исчисления.
8. Системы с распределенными параметрами.
IX.Численные методы.
1. Численные методы решения задачи Коши
для дифференциального уравнения 1-го порядка.
2. Метод Эйлера.
3. Метод Рунге-Кутта.
X. Элементы теории множеств и математической логики.
1. Множества. Конечные и бесконечные множества. Способы задания множеств.
2. Подмножества. Равенство множеств. Пустое и универсальное множества. Операции над множествами.
3. Законы алгебры множеств. Мощность множества. Счетные и несчетные множества.
4. Прямое произведение множеств.
5. Алгебра логики. Булева алгебра. Способы задания и простейшие свойства функции алгебры логики
6. Разложение булевых функций по переменным. Таблицы различных логических функций f(x) одной переменной.
7. Таблицы значений логических функций двух переменных: штрих Шеффера и стрелка Пирса.
8. Функциональная полнота булевой алгебры.
9. Совершенные дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы. 10.Основные законы (эквивалентные соотношения) булевой алгебры.
11. Исчисление высказываний, система аксиом, правила вывода.
12. Тавтология. Полином Жегалкина.
13. Предикаты. Предметная область, n – местный предикат.
XI. Элементы теории графов.
1. Граф. Ориентированные и неориентированные графы. Мультиграф.
2. Способы задания графа. Вершины и линии графа. Последовательность линий на графе.
3. Теоретико - множественные операции над графами.
4. Матричный способ задания графа. Матрица смежности.
5. Связность графа. Деревья и прадеревья. Сети.
XII. Уравнение математической физики
1. Классификация уравнений с частными производными второго
порядка с двумя независимыми переменными.
2. Канонические формы линейных уравнений с постоянными
коэффициентами
3. Основные уравнения математической физики.
4. Уравнение колебаний струны. Метод разделения переменных.
XIII. Линейное программирование.
1. Линейная зависимость векторов.
2. Базис n – мерного векторного пространства.
3. Линейные неравенства и область решений систем линейных неравенств.
4. Формула задачи линейного программирования.
5. Выпуклые множества.
6. Геометрическая интерпретация ЗЛП.
7. Свойства решений ЗЛП.
8. Графический метод решения ЗЛП.
9. Примеры задач, решаемых графическим методом.
10. Построение опорных планов.
11. Отыскание оптимального плана. Условия оптимальности.
12. Алгоритм симплекс метода.
13. Метод искусственного базиса.
14. Задача со смешанными ограничителями.
15. Геометрическая интерпретация симплексного метода.
16. Понятие двойственности.
17. Симметричные двойственные задачи.
18. Двойственный симплекс метод.
19. Постановка транспортной задачи.
20. Нахождение исходного опорного плана (правило «северо-западного угла», правило «минимального элемента»).
21. Решение транспортной задачи распределительным методом.
22. Решение транспортной задачи методом потенциалов.
XIV. Прикладные методы теории случайных функций и потоков
1. Случайная функция и случайный процесс.
2. Математическое ожидание случайной функции и ее свойства.
3. Дисперсия случайной функции и ее свойства.
4. Корреляционная функция случайной функции и ее свойства.
5. Нормированная корреляционная функция.
6. Стационарная случайная функция и ее свойства.
7. Нормированная корреляционная функция стационарной случайной функции.
8. Случайный процесс. Реализация случайного процесса.
9. Законы распределения случайных процессов.
10. Основные характеристики случайных процессов.
11. Потоки событий и ее свойства.
12. Потоки Пальма и ее некоторые свойства.
13. Потоки Эрланга k го порядка. Числовые характеристики.
14. Предельные теоремы теории потоков.
15. Граф состояний. Неориентированный и ориентированный граф. Классификация состояний.
16. Марковские случайные процессы с дискретными состояниями и дискретным временем (Марковская цепь).
17. Стационарный режим для цепи Маркова.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 |
