Прикладная математика (стр. 3 )

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ.

I. Кратные и криволинейные интегралы.

1. Что называется двойным интегралом от функции по области D?

Укажите его геометрический смысл.

2.Сформулируйте теоремы о двойном интеграле от суммы и вынесении

постоянного множителя за знак двойного интеграла. Докажите, что

.

3. Напишите формулу для вычисления двойного интеграла с помощью

двукратного.

5. Обоснуйте формулы, служащие для вычисления объема цилиндрического

тела и площади плоской фигуры с помощью двойных интегралов.

6. Напишите формулы для вычисления двойного интегралов полярных

координатах.

7. Что называется тройным интегралом функции по

пространственной области V?

8. Что называется трехкратным интегралом от функции по области

V? Как он вычисляется?

9. Напишите формулу для вычисления тройного интеграла с помощью

трехкратного. Напишите формулу для вычисления тройного интеграла в

цилиндрических координатах.

10. Обоснуйте формулу, служащую для вычисления объема тела с помощью

тройного интеграла.

11. Что называется криволинейным интегралом по координатам?

Сформулируйте свойства криволинейного интеграла.

12. Что называется криволинейным интегралом по длине плоской кривой?

13. Напишите формулу для вычисления криволинейного интеграла по

кривой, заданной параметрическими уравнениями.

14. Как вычисляется криволинейный интеграл по кривой, заданной

уравнениям .

15. Напишите формулу вычисления площади плоской фигуры с помощью

криволинейного интеграла.

16. Напишите формулу Грина.

17. Что называется поверхностным интегралом? Напишите формулу для его

вычисления.

II. Обыкновенные дифференциальные уравнения.

1.  Дайте определения дифференциального уравнения первого порядка, его общего и частного решения.

2.  Сформулируйте задачу Коши для дифференциального уравнения первого порядка и укажите ее геометрический смысл.

3.  Дайте геометрическое истолкование дифференциального уравнения первого порядка, выясните геометрический смысл общего и частного решения.

4.  Дайте определение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными. Изложите метод нахождения его общего решения.

5.  Дайте определение линейного дифференциального уравнения первого порядка. Изложите метод нахождения его общего решения.

6.  Дайте определение уравнения Бернулли. Изложите метод нахождения его общего решения.

7.  Сформулируйте теорему о существовании и единственности решения дифференциального уравнения второго порядка.

8.  Изложите метод решения дифференциального уравнения вида .

9.  Изложите метод решения дифференциального уравнения вида

10.  Дайте определение линейного дифференциального уравнения n - го порядка (однородного и неоднородного).

11.  Докажите теорему об общем решении линейно однородного дифференциального уравнения второго порядка.

12.  Выведите формулу для общего решения линейно дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами в случае действительных различных корней характеристического уравнения.

13.  Выведите формулу общего решения линейно однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами в случае комплексных корней характеристического уравнения.

14.  Изложите правило нахождения частного решения линейно дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью вида - многочлен степени .

19. Изложите правило для нахождения частного решения линейного

дифференциального уравнения второго порядка с постоянными

коэффициентами и правой частью вида

20. Что называется нормальной системой дифференциальных уравнений

первого порядка? Сформулируйте задачу Коши для этой системы.

21. Изложите метод нахождения общего решения нормальной системы

дифференциальных уравнений первого порядка сведением системы к

одному дифференциальному уравнению (метод исключения).

22. Изложите метод системы двух линейных однородных дифференциальных

уравнений с постоянными коэффициентами в случае простых корней

характеристического уравнения.

III. Ряды

1.  Дайте определения сходящегося и расходящегося рядов. Исследуйте сходимость ряда, составленного из членов геометрической прогрессии.

2.  Докажите необходимый признак сходимости ряда.

3.  Докажите теорему о сравнении рядов с постоянными членами.

4.  Докажите признак Даламбера сходимости знакопеременных рядов.

5.  Докажите признак Коши сходимости рядов с положительными членами.

6.  Докажите интегральный признак сходимости ряда Коши.

7.  Дайте определение абсолютно сходящегося ряда. Сформулируйте свойства абсолютно сходящихся рядов.

8.  Докажите признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов.

9.  Функциональные ряды

10.  Докажите определение области сходимости функционального ряда.

11.  Дайте определение понятие равномерной сходимости последовательности функций. Какой ряд называется равномерно сходящимся?

12.  Сформулируйте признак Вейерштрасса абсолютной и равномерной сходимости ряда.

13.  Докажите теорему Абеля о сходимости степенных рядов.

14.  Выведите формулу вычисления радиуса круга сходимости степенного ряда.

15.  Выведите условия разложимости функции в ряд Тейлора.

16.  Разложите функцию в степенной ряд и докажите с помощью остаточного члена сходимость полученного ряда к данной функций.

17.  Разложите функцию в степенной ряд и докажите с помощью остаточного члена сходимость полученного ряда к данной функции.

18.  Разложите функцию в степенной ряд и найдете промежуток сходимости полученного ряда.

19.  Сформулируйте теорему об интегрировании степенных рядов и с ее помощью получите разложение в ряд функции

20.  Сформулируйте теорему о дифференцировании степенных рядов и с ее

помощью получите разложение в ряд функции

21.  Выведите формулу Эйлера исходя из разложения в степенной ряд функции .

22.  Изложите метод приближенного вычисления определенных интегралов

с помощью степенных рядов.

23.  Изложите метод приближенного интегрирования дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов.

24.  Ряды Фурье

25.  Напишите формулу для коэффициентов ряда Фурье.

26.  Сформулируйте достаточные условия разложимости функции в ряд

Фурье.

27.  Напишите формулы для коэффициентов ряда Фурье для четных и

нечетных функций.

IV. Элементы теории поля.

1. Что называется физическим и скалярным полем. Как характеризуется

скалярное поле.

2. Что называется поверхности уровня. Напишите формулы

характеризующее поверхности уровня.

3. Что характеризует производная по направлению. Как она вычисляется.

4. Что называется градиентом от скалярной функции f(x,y,z). Напишите

формулы grad f и .

5. Как определяется производная по направления через градиент. Напишите

свойства градиента.

6. Что называется поверхностным интегралом первого рода. Как

вычисляется поверхностный интеграл первого рода.

7. Что называется поверхностным интегралом второго рода.

8. Что называется векторным полем, векторной функцией и векторной

линией векторного поля.

9. Как вычисляется поверхностный интеграл 2-го рода.

10.Что называется потоком векторного поля.

11.Что называется дивергенцией векторного поля. Напишите формулы

дивергенции поля в 3-х мерном евклидовом пространстве.

12.Что характеризует дивергенция векторного поля.

13.Сформулируйте теорему Гаусса Остроградского.

14.Что называется циркуляцией поля вектора по контуру L. Что

характеризует циркуляция вектора .

15.Что называется вихрем ( или ротором) векторного поля.

16. Сформулируйте теорему и напишите формулы Стокса.

17. Что называется оператором Гамильтона (набла-вектор). Напишите

формулы произведение набла - вектора на скалярную функцию (м).

18. Напишите формулы . Что называется оператором Лапласа. Как

определяется с помощью набла вектора .

19. Докажите

20. Докажите

21. Что называется соленоидальным (трубчатым) векторным полем. Что

означает соленоидальности векторного поля.