У – число узлов шарнирной схемы, включая опорные;

Д – количество дисков шарнирной схемы;

Соп – число опорных стержней (опорных связей) шарнирной схемы.

В данном случае , то есть количество возможных линейных перемещений равно единице.

Если пренебречь изменением длин стержней в процессе деформации, то в целом деформированное состояние рассматриваемой рамы будет определено четырьмя перемещениями узлов: углами поворотов (φ1, φ2, φ3) узлов (жестких соединений стержней) – z1, z2 и z3 и горизонтальным линейным смещением ригеля – z4 (см. далее рис. 4, 5, 6); т. е. степень кинематической неопределимости рамы равна четырем (п = 3 + 1 = 4). Следовательно, общее число неизвестных перемещений, подлежащих определению, для расчета заданной СНС равно четырем.

3 Основная система метода перемещений

Исключим возможные углы поворота жестких соединений и линейные смещения узлов введением дополнительных связей.

Зададим повороты и смещения введенным дополнительным связям, добиваясь при этом равенства нулю реакций во всех введенных связях, сопротивляющихся этим (возможным) поворотам и смещениям.

Сформированная таким образом система является основной для расчета заданной СНС методом перемещений. Так как основная и заданная системы в нагруженном состоянии являются эквивалентными.

Для того чтобы исключить возможность углового перемещения жестких соединений в основную систему, необходимо ввести защемляющие связи, так называемые плавающие заделки, которые отличаются от обычных абсолютно жестких защемлений (заделок) тем, что оказывают препятствие лишь повороту узла и не лишают его линейной подвижности. Реакции таких связей представляют собой моменты, приложенные в узлах системы R1, R2 и R3 (рис. 4).

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Для того чтобы исключить возможность линейных смещений узлов системы, необходимо в заданную систему ввести дополнительные связи (шарнирно-подвижные опоры). Число независимых линейных смещений узлов равно количеству стержней (шарнирно-подвижных опор), которые необходимо ввести в шарнирную схему системы, чтобы превратить ее в геометрически неизменяемую. Например, для системы, изображенной на рис. 3, необходимо ввести одну шарнирно-подвижную опору, для того чтобы шарнирная система стала геометрически неизменяемой (рис. 3). Поэтому, если в заданную систему (рис. 5) ввести одну дополнительную шарнирно-подвижную опору, то исключается возможность линейного смещения узлов системы. Реакция во введенной шарнирно-подвижной опоре определяется только величиной R4, так как вектор проходит вдоль оси опорного стержня.

Основная система с дополнительными введенными связями, устраняющими возможные перемещения Z1, Z2, Z3 и Z4, показана на рис. 6 (направление Z1, Z2, Z3 и Z4 выбирается произвольно).

4 Канонические уравнения метода перемещений

Для того чтобы основная и заданная системы в нагруженном состоянии работали эквивалентно, необходимо чтобы реакции во всех введенных связях равнялись нулю.

Если к основной системе приложить заданную нагрузку, а жесткие соединения повернуть на углы Z1, Z2 и Z3, равные углам поворота узлов заданной системы, и сместить в горизонтальном направлении на величину Z4, то суммарные реактивные моменты и усилия во введенных связях должны быть равны нулю, т. е. :

(1.5)

Система уравнений (1.5) является разрешающей системой для рассматриваемой рамы по методу перемещений. Для того чтобы развернуть (выразить) каждое из равенств (1.5) через перемещения Z1, Z2, Z3, Z4 нужно предварительно изучить работу отдельных стержней, составляющих основную систему, на воздействие различных видов нагрузки и смещений опорных закреплений (включая введенные дополнительные). Так как значения перемещений Z1, Z2, Z3, Z4, являются величинами неизвестными, то поочередно задаем каждому из перемещений условное единичное значение (т. е. Z1 = 1, Z2 = 1, Z3 = 1, Z4 = 1).

Деформированное состояние каждого элемента системы вполне определяется нагрузкой, непосредственно приложенной к этому элементу, и перемещениями его концевых сечений. Если предварительно вычислить реакции по концам стержней от указанных воздействий, то, используя принцип суперпозиции, каждую из полных реакций (1.5) можно записать как сумму слагаемых, выражающих каждое воздействие отдельно.

Заменим реактивный момент R1 суммой:

(1.6)

Очевидно, что первый индекс обозначает рассматриваемый узел (дополнительную связь), а второй индекс обозначения реакций указывает на то воздействие, которое является причиной появления реакции.

То есть:

R11 – реактивный момент в первой введенной заделке от поворота этой же заделки на угол Z1 (рис. 7, д);

R12 – реактивный момент в первой введенной заделке от поворота второй заделки на угол Z2;

R13 – реактивный момент в первой введенной заделке от поворота третьей заделки на угол Z3;

R14 – реактивный момент в первой введенной заделке от линейного смещения узлов 1, 2 и 3 на величину Z4;

R1F – реактивный момент во введенной заделке от действия внешней нагрузки.

На рис. 7 показаны только реакции, возникающие в первом узле от различных перемещений.

Реактивные моменты R11, R12, R13, и R14 от Z1, Z2, Z3, Z4 можно заменить выражениями:

где

r11 – реактивный момент в заделке от поворота этой же заделки на угол ;

r12 – реактивный момент в первой введенной заделке от поворота второй заделки на угол ;

r13 – реактивный момент в первой введенной заделке от поворота третьей заделки на угол ;

r14 – реактивный момент в первой введенной заделке от линейного смещения узлов 1, 2 и 3 на величину .

После этой замены уравнение 1.6 примет вид:

(1.7)

По аналогии полученное равенство 1.7 дает основание составить систему из четырех канонических уравнений (1.5), полностью описывающую условия деформации заданной СНС:

(1.8)

Физический смысл первых трех уравнений состоит в отрицании моментов во введенных плавающих заделках, а четвертого – в отрицании усилия во введенном опорном стержне. Вместе эти уравнения образуют систему канонических уравнений метода перемещений для заданной, четыре раза кинематически неопределимой, системы. В общем случае, при n неизвестных (или n раз степени кинематической неопределимости), система канонических уравнений метода перемещений имеет вид:

(1.9)

В уравнениях (1.9) коэффициенты (единичные реакции) …, расположенные на главной диагонали, называются главными; коэффициенты называются побочными, а свободные члены R1F, R2F, …, RnF – грузовыми реакциями. В этих уравнениях, так же как и в уравнениях метода сил, коэффициенты при неизвестных, расположенные симметрично относительно главной диагонали, равны друг другу (первая теорема Рэлея):

(1.10)

Для определения коэффициентов rin и свободных членов RnF системы канонических уравнений метода перемещений необходимо предварительно построить эпюры моментов в основной системе от заданной системы внешних сил и от единичных перемещений . Все коэффициенты, а также свободные члены уравнений разделяются на две группы:

– реактивные моменты во введенных дополнительных связях;

– реактивные усилия во введенных дополнительных связях.

Для того чтобы построить эпюру изгибающих моментов в основной системе от действия внешних сил и от Zi = 1 (i = 1, 2 ... n), необходимо предварительно определить характер (вид изменения) эпюр изгибающих моментов в однопролетных стержнях. Т. е. в общем случае для реализации метода перемещений необходимо предварительно рассмотреть решение задачи определения внутренних усилий в однопролетных статически неопределимых стержнях при кинематическом (линейном и угловом перемещении концевых сечений) и внешнем силовом нагружении.

Очевидно, что характер нагружения таких балок и способы закрепления их концов дают определенный, постоянный "набор" возможных вариантов, к определенной совокупности которых приводит расчетная схема любой заданной системы. Поэтому целесообразно заранее рассчитать однопролетные статически неопределимые балки при разных условиях нагружения (перемещения), используя алгоритм метода сил. Обычно / 3,4,5,6 / такой "набор" возможных вариантов представляется в табличной форме (Справочная таблица, стр. 54).

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8