Расчёт статически неопределимых плоских рам методом перемещений (стр. 3 )

Коэффициенты и свободные члены, представляющие реактивные моменты во введенных элементах, определяются путем вырезания узлов и составлением уравнений равновесия:

(1.11)

Коэффициенты, представляющие собой реактивные усилия во введенных связях (стержнях), определяют разрезанием элементов рамы по нулевым точкам изгибающих моментов и составлением уравнений равновесия сил, действующих на отсеченную часть:

(1.12)

причем, направление оси Y выбирается так, чтобы уравнения получились наиболее простыми. Вычисленное реактивное усилие считается положительным, если его направление совпадает с направлением (соответственно, угловым или линейным) перемещения связи.

Свободные члены, представляющие собой реактивные усилия, так же определяют путем разрезания стержней и составлением уравнений равновесия сил на ось, однако:

– если нагрузка, действующая на стержень, представляет собой сосредоточенную силу или изгибающий момент, то разрезание стоек выполняем по ближайшим к ригелю нулевым точкам изгибающих моментов.

– если нагрузка, действующая на стержень, представляет собой распределенную нагрузку, то разрезание стоек выполняем по сечениям, имеющим экстремальное (М max, min) значение изгибающего момента, так как по правилу Журавского поперечная сила в этом сечении равна нулю.

Например. Для системы, изображенной на рис. 2, а, построена эпюра изгибающих моментов от действия внешней нагрузки (рис. 8). Чтобы определить свободный член R4F системы канонических уравнений, представляющий собой реактивное усилие, возникающее во введенной опоре от действия внешней нагрузки, необходимо из эпюры MF вырезать (отсечь от земли) ригель 1–2–3.

Стойку 3–6 рассекаем сечением (рис. 9), проведенным через ближайшую нулевую точку, расположенную на расстоянии h/4 от ригеля.

Стойку 2–5 рассекаем сечением, проведенным через экстремальное значение изгибающего момента на расстоянии h/2 от ригеля, в котором поперечная сила равна нулю Q = 0.

Так как стойка 1–4 не нагружена внешней нагрузкой (т. е. нет сил, оказывающих влияние на значение R4F ), то место сечения может быть любым.

Поперечная сила Q36, действующая в узле 3 от внешней нагрузки, равна:

,

Поперечная сила Q25 (на рис. 9 не показана) в узле 2 от действия распределенной нагрузки равна:

.

Аналогичные значения поперечных сил можно легко получить, не отсекая стойки от земли, если учесть, что силы, действующие на ригель со стороны стоек, равны реакциям опор простых балок, рассмотренных в справочной таблице (стр. 54).

Схема 4, при a = b = l/2 стр. 54.

.

Схема 2, стр. 54.

.

Составляя уравнение проекций сил на ось Х, определяем значение R4F:

,

5 Методы вычисления коэффициентов и свободных членов канонических уравнений

В методе перемещений для вычисления коэффициентов и свободных членов канонических уравнений используются два способа: статический и способ интегрирования эпюр.

При статическом способе реактивные усилия во введенных связях определяют из уравнений равновесия отдельных узлов рамы или ее отсеченной части.

Способ интегрирования эпюр целесообразно применять при расчете рам с наклонными элементами. По этому способу коэффициенты при неизвестных определяют путем интегрирования (перемножения по правилу Верещагина) соответствующих единичных эпюр:

(1.13)

где – эпюра моментов от единичного перемещения Zi = 1,

– эпюра моментов от единичного перемещения Zj = 1.

Свободные члены канонических уравнений вычисляют по формуле:

(1.14)

где – эпюра моментов от внешней нагрузки, построенная в любой статически определимой системе, образованной из заданной или основной системы метода перемещений с обязательным отбрасыванием той связи, реакция которой определяется.

6 Проверки правильности расчета систем методом перемещений

Так же, как и в методе сил, в методе перемещений можно выполнять статическую и кинематическую проверки. Но поскольку основная система метода перемещений кинематически определима, то кинематическая проверка является вспомогательной и выполняется при выполненной статической проверке. То есть основной проверкой в методе перемещений является проверка равновесия узлов и других частей рамы. Количество проверяемых условий равновесия должно быть не меньше числа неизвестных метода перемещений.

Кроме того, можно выполнить и обычные деформационные (кинематические) проверки путем интегрирования окончательной эпюры М с единичными эпюрами , т. е. с эпюрами, построенными в статически определимой системе от единичного усилия по направлению отброшенной связи. При этом, если в заданной системе эта связь была неподвижная, тогда

.

7 Алгоритм расчета статически неопределимых систем методом перемещений

1 Определяем степень кинематической неопределимости заданной системы.

2 Выбираем основную систему.

3 Составляем систему канонических уравнений метода перемещений.

4 Строим единичные и грузовую эпюры изгибающих моментов в основной системе.

5 Определяем коэффициенты и свободные члены канонических уравнений.

6 Решаем систему канонических уравнений.

7 Строим окончательную эпюру изгибающих моментов и выполняем статические проверки равновесия узлов рамы.

8 Строим эпюру поперечных сил Q для заданной системы.

9 Строим эпюру продольных сил N для заданной системы.

10 Проверяем равновесие заданной системы в целом.

Пример 1: Для рамы (рис. 1.1) построить эпюры M, Q, N при условии, что жесткость стержней постоянна.

Дано: F = 90 кН; q = 30 кН/м; l = h = 3 м.

1 Определяем число неизвестных п (степень кинематической неопредели-мости заданной системы) метода перемещения:

,

пу – число углов поворота жестких узлов (равно количеству жестких узлов, кроме опорных); пу = 1.

пл – число линейных смещений. Число линейных смещений определяем по формуле степени подвижности шарнирной схемы (рис. 1.2).

Степень подвижности шарнирной схемы равна:

.

Так как степень подвижности шарнирной схемы равна нулю, то связей достаточно для её неизменяемости, однако необходим структурный анализ.

Правило геометрически неизменяемого соединения дисков с землей: три диска (в том числе «земля») соединяются неизменяемо тремя шарнирами, не лежащими на одной прямой.

Как видим, одна связь поставлена неверно. Стержень 1–5 и 1–4 соединены с землей тремя шарнирами, лежащими на одной прямой, то есть, система мгновенно изменяемая, возможно смещение стержня 1–2 влево или вправо.

пл = 1,

п = 1 + 1 = 2.

Следовательно, заданная система два раза кинематически неопределима.

За неизвестные метода перемещений принимаем угол поворота Z1 и линейное смещение узлов (1 и 2) на величину Z2.

2 Основная система.

Образуем основную систему метода перемещений, устанавливая дополнительные связи по направлению возможных перемещений (рис. 1.3). В жестком соединении ставим плавающую заделку и задаем узлу угол поворота Z1. По направлению возможного линейного перемещения горизонтального стержня установим линейную связь (шарнирно-подвижную опору) и зададим стержню линейное перемещение Z2.

Основная система представлена на рис. 1.3.

3 Система канонических уравнений имеет вид:

4 Строим единичные и грузовую эпюры в основной системе.

Рассматриваем основную систему в трех независимых состояний, в каждом из которых построим эпюру изгибающих моментов (учитываем только деформацию изгиба).

В первом состоянии (рис. 1.4) плавающая заделка в узле 1 поворачивается на единичный угол =1 (черточка указывает на то, что , а совпадает по направлению). Пунктиром показываем вид деформированного состояния (изогнутой оси) стержней рамы. Эпюра в основной системе для каждого из стержней рамы строится по готовым решениям (справочной таблице стр. 54) в соответствии с видом изогнутой оси – ординаты откладываются в сторону растянутого волокна.

Во втором состоянии (рис. 1.5) ригель 1–2 в основной системе смещается на величину , увлекая за собой и плавающую заделку. Эпюра также строится по справочной таблице (стр. 54) в соответствии с видом изогнутой оси каждой балки.