Расчёт статически неопределимых плоских рам методом перемещений (стр. 1 )

РОСЖЕЛДОР

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Ростовский государственный университет путей сообщения»

(ФГБОУ ВПО РГУПС)

 

,

Расчёт статически неопределимых плоских рам

Методом перемещений

Учебное пособие

Ростов-на-Дону

2011

РОСЖЕЛДОР

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Ростовский государственный университет путей сообщения»

(ФГБОУ ВПО РГУПС)

 

,

Расчёт статически неопределимых плоских рам

методом перемещений

Учебное пособие

Утверждено методическим советом университета

Ростов-на-Дону

2011

УДК 539.3/.6 (07) + 06

Личковаха, А. С.

Расчёт статически неопределимых плоских рам методом перемещений : учеб. пособие / , ; Рост. гос. ун-т путей сообщения. – Ростов н/Д, 2011. – 63 с. : ил. – Библиогр. : 7 назв.

В учебном пособии изложены теоретические основы расчета статически неопределимых стержневых систем методом перемещений. Пособие содержит несколько наиболее характерных типовых примеров с подробными пояснениями, а также справочные данные и варианты заданий.

Пособие предназначено для студентов всех форм обучения, изучающих дисциплины «Механика вагонов», «Строительная механика».

Рецензенты: д-р техн. наук, проф. (РГСУ);

канд. техн. наук, доц. (РГСУ)

© Ростовский государственный университет

путей сообщения, 2011

Оглавление

1 Сущность метода перемещений ……………………………………………… 2 Определение числа неизвестных……………………………………………... 3 Основная система метода перемещений……………………………………... 4 Канонические уравнения метода перемещений...…………………………… 5 Методы вычисления коэффициентов и свободных членов канонических уравнений……………………………………………………………………….... 6 Проверки правильности расчета систем методом перемещений…………... 7 Алгоритм расчета статически неопределимых систем методом перемещений……………………………………………………………………... Пример 1…………………………………….…………………….…......... Пример 2.……………….…………………...…………………….............. Справочная таблица………………..…..………………………...………............ Задания…………………………………………………………………….. Библиографический список...................................................................................

4 7 9 11 18 19 19 20 36 54 58 62

1 Сущность метода перемещений

Как известно /1/, для определения всех усилий в статически неопределимой конструкции одних только уравнений равновесия недостаточно, и в общем случае нужно составлять дополнительные уравнения, описывающие процесс деформации системы. При этом какие-то факторы выбирают в качестве основных неизвестных, причем эти факторы должны в полной мере определять напряженно-деформированное состояние системы. В строительной механике наиболее распространены два метода расчета статически неопределимых систем (СНС): метод сил и метод перемещений.

При расчете СНС методом сил предварительно находят усилия, возникающие в системе под действием внешних сил, а затем вызванные ими перемещения. Таким образом, основным фактором, определяющим условия деформации системы в методе сил, являются усилия. А при расчете СНС методом перемещений, сначала определяют перемещения, а потом устанавливают соответствующее им распределение усилий. Основным фактором, позволяющим определять напряженно-деформированное состояние системы в методе перемещений являются перемещения. Число возможных перемещений заданной СНС называется степенью кинематической неопределимости.

В качестве примера рассмотрим абсолютно жесткий брус /2/, поддерживаемый четырьмя одинаковыми стержнями с жесткостью на растяжение ЕА, нагруженный силой F (рис.1, а). Неизвестными в данной системе являются усилия в поддерживающих стержнях N1, N2, N3, N4 и две составляющие реакции (на рисунке не показаны) в опоре О. Так как для плоской системы можно составить только три независимых уравнения равновесия, следовательно, система является статически неопределимой. Степень статической неопределимости равна разности между числом неизвестных усилий и возможных уравнений равновесия (n = 6 – 3 = 3), то есть система трижды статически неопределима. Поэтому необходимо составить дополнительные уравнения, характеризующие условия совместности деформаций всех поддерживающих стержней. Удлинения (c учетом закона Гука) и усилия всех поддерживающих стержней вполне определяются одним перемещением, например, вертикальным перемещением точки В. Зададим точке В вертикальное перемещение, которое обозначим через Z1.

Очевидно, что степень статической неопределимости рассматриваемой системы зависит от числа поддерживающих стержней, в то время как степень кинематической неопределимости (т. е. количество возможных перемещений) данной системы остается равной единице при любом количестве поддерживающих стержней. Следовательно, единственно возможное перемещение бруса в вертикальном направлении характеризует и позволяет определить напряженно-деформированное состояние всех поддерживающих стержней.

Определим усилия в стержнях N1, N2, N3, N4, принимая в качестве неизвестного перемещение точки В равное Z1, для этого:

1) устраним перемещение Z1, введя по его направлению дополнительную связь (рис.1, б). Сформированную таким образом систему назовем основной системой метода перемещений.

2) сообщим введенной связи принудительное смещение Z1, которое определим из условия равенства нулю суммарной реакции R1 в этой связи, так как в действительности сама связь отсутствует. Будем считать реакцию положительной, если ее направление совпадает с принятым направлением перемещения, и отрицательной – в противном случае.

В основной системе от нагрузки F реакция в добавленной связи равна (рис.1, б). От смещения Z1 для линейно-упругой системы реакция в связи пропорциональна перемещению Z1. Представим ее в виде: , где r11 – реакция от единичного смещения Z1 = 1 (рис.1, в). Согласно принципу суперпозиции условие отсутствия полной реакции в присоединенной связи (так как в действительности эта связь отсутствует) имеет вид:

(1.1)

или

(1.2)

Составляя сумму моментов относительно точки О (рис. 1, в)

,

находим:

Из уравнения (1.2) получим:

Усилия в стержнях, показанные на рис. 1, в, найдены от единичного смещения z1=1. Умножая их на фактическое перемещение z1, получим искомые значения сил:

Разрешающее уравнение (1.2) выражает в соответствующей форме условие равновесия системы, получившей под нагрузкой F перемещение z1; иначе говоря, это уравнение равновесия системы, выраженное через перемещение z1.

При расчете статически неопределимой системы методом перемещений первоначально необходимо установить общее число неизвестных перемещений, подлежащих определению для адекватного вычисления величин внутренних усилий.

Таким образом, в основе уравнений метода перемещений лежит отрицание реактивных усилий во введенных дополнительных связях в направлении неизвестных перемещений.

2 Определение числа неизвестных

За неизвестные при расчете СНС методом перемещений принимают упругие угловые перемещения жестких узлов, кроме опорных, заданной системы и их линейные смещения. То есть, общее число неизвестных n будет равно сумме неизвестных углов поворота узлов nу и их возможных линейных перемещений nл:

. (1.3)

Число неизвестных углов поворота nу равно числу жестких узлов заданной системы. Жестким считается узел, в котором концы, по крайней мере, двух из сходящихся в нем стержней жестко связаны между собой. Например, на рис. 2, а изображена заданная система, имеющая три жестких узла (узлы 1, 2 и 3), следовательно, число неизвестных возможных углов поворота этой системы равно трем. На рис. 2, б показаны возможные угловые перемещения жестких узлов под действием заданной нагрузки (углы φ1, φ2, φ3), то есть nу = 3.

Для определения числа линейных неизвестных перемещений nл заданную систему преобразовывают в шарнирную схему путем введения шарниров во все узлы и опорные закрепления (рис. 3). Число независимых линейных смещений узлов равно степени геометрической изменяемости шарнирной системы, которую можно определить по формуле:

, (1.4)

где W – степень геометрической изменяемости (подвижности) шарнирной схемы (количество степеней свободы шарнирной схемы);