12. Сформулируйте теорему Лагранжа для групп.
13. Сформулируйте определение нормального делителя группы и его критерий. Приведите примеры.
14. Сформулируйте определение фактор-группы по нормальному делителю. Приведите примеры фактор-групп.
15. Сформулируйте определение кольца. Приведите примеры колец.
16. Сформулируйте определение подкольца данного кольца, укажите его критерий; приведите примеры подколец.
17. Сформулируйте определение идеала кольца. Приведите примеры идеалов колец. Приведите пример подкольца, не являющегося идеалом кольца.
18. Определите отношение сравнения элементов кольца по идеалу. Сформулируйте определение смежного класса по идеалу (класса вычетов). Приведите примеры.
19. Сформулируйте определение фактор-кольца по идеалу. Приведите примеры фактор-колец.
20. Сформулируйте определение поля. Перечислите основные свойства полей. Приведите пример кольца, не являющегося полем и кольца, являющегося полем.
21. Опишите кольцо классов вычетов 
22. Опишите поле классов вычетов Zp.
Контрольные вопросы
по разделу «Введение в теорию кодирования»
1. Что понимают под кодированием?
2. Приведите примеры способов кодирования.
3. Какие требования должны выполняться при кодировании?
4. Что является существенным условием при выборе алфавита кодирования?
5. Почему в устройствах хранения и обработки дискретной информации используется двоичная система кодирования?
6. Как задается алфавитное кодирование?
7. Какая схема будет называться разделимой? префиксной?
8. Является ли префиксная схема разделимой?
9. Является ли схема алфавитного кодирования 
разделимой? префиксной?
10. В чем состоит задача кодирования при передаче информации по каналу с помехами?
11. Что понимают под кодовым расстоянием?
12. Чему равно минимальное кодовое расстояние, необходимое для различения двух кодов?
13. Сколько можно обнаружить и исправить ошибок, если кодовое расстояние равно 4?
14. В чем заключается метод кодирования «проверка на четность»?
15. В чем состоит процесс шифрования?
16. Чем занимается область знаний «криптография»?
17. В чем заключается принцип перемешивания Шеннона?
18. В чем состоят отличия между рассеивающими и перемешивающими преобразованиями при шифровании информации?
19. Какой параметр в криптосистеме RSA является секретным?
20. Как может быть вычислен секретный ключ в RSA?
Образец индивидуального домашнего задания (6 семестр)
Вариант 1
1. Пусть R есть множество действительных чисел. Показать, что 
является группой, если: 
.
2. Будет ли 
подгруппой, нормальным делителем группы 
, если 
? Ответ обоснуйте. Постройте фактор-группу М/А и таблицу сложения ее элементов.
3. Сколько подгрупп имеет группа 19-го порядка? Ответ обосновать.
4. Какие из перечисленных ниже алгебр являются: только кольцами, но не полями, и кольцами и полями относительно естественных операций сложения и умножения:
а) Z, б) 
, в)Q+ , г)R ,д)
? Ответ поясните.
5. Докажите, что I — идеал в кольце K, если 
6. Составьте таблицы сложения и умножения элементов кольца Z4. Почему оно не является полем?
7. Пусть n1=13, n2=11, n3=17, x=62, y=24. Найдите сумму, разность, произведение и частное чисел x и y с помощью их модулярного представления. (Все действия описать с подробным объяснением полученных результатов).
8. Разделить с остатком многочлен 
на 
в кольце Z5[x] : 
, 
.
9. Записать равенство, полученное в процессе деления:
на 
.
10. Разложить многочлен по степеням 
, найти значение многочлена и всех его производных при 
: 
.
11. Найти НОД и в кольце Z7[x] : 
, 
.
12. Найти НОД и НОК многочленов и в кольце R[x]; выразить НОД 
через и : 
, 
.
13. Являются ли неприводимыми многочлены: 
над Q ? 
над Z ? с) 
; 
над R ? d) 
над Z5 ? Ответ пояснить.
14. Решить уравнения:
15. Используя формулы Виета, построить многочлен в С [x] наименьшей степени по его корням: 
.
16. Доказать, что число
является алгебраическим и найти его минимальный многочлен.
17. Какие значения из предложенных чисел 6, 8, 36, 50, 81, 100, 125 может принимать количество элементов конечного поля. Ответ поясните. Для каждого из таких полей укажите его простое подполе.
Программа зачета
по абстрактной и компьютерной алгебре для студентов 3 курса
(6 семестр, летняя сессия)
1. Алгебры и алгебраические системы. Полугруппа, моноид, группа, как алгебры с одной бинарной алгебраической операцией. Примеры таких алгебр.
2. Определение группы. Примеры групп. Простейшие свойства группы. Подгруппы
3. Отношение сравнения по подгруппе и его свойства. Смежные классы (левые, правые) по подгруппе. Разложение группы по подгруппе. Теорема Лагранжа и ее следствия.
4. Определение нормального делителя группы. Критерий нормального делителя. Фактор-группа по нормальному делителю. 
— как пример аддитивной фактор-группы.
5. Определение кольца. Примеры колец. Zm как пример конечного нечислового кольца. Простейшие свойства кольца.
6. Определение поля. Примеры полей. Zp как пример конечного нечислового поля.
7. Простейшие свойства поля. Отсутствие в поле делителей нуля.
8. Подполе. Расширение поля.
9. Алгоритм Евклида и его сложность; теорема Ламе. Расширенный алгоритм Евклида.
10. Кольцо классов вычетов Zm. Мультипликативная группа классов вычетов, взаимно простых с модулем. Поле классов вычетов по простому модулю (Zp).
11. Модулярное представление числа. Преобразование модулярного представления целого числа в его позиционное представление. Точные вычисления, использующие модулярную арифметику.
12. Кольцо многочленов от одной переменной над произвольным коммутативным кольцом.
13. Отношение делимости в кольце многочленов над полем. НОД и НОК двух многочленов в кольце многочленов над полем. Свойства НОД и НОК.
14.Теорема о делении с остатком в кольце многочленов над полем. Алгоритм Евклида в кольце многочленов над полем.
15.Неприводимые над данным полем многочлены. Свойства неприводимых над полем многочленов. Теорема о разложении многочлена над полем в произведение неприводимых над данным полем многочленов.
16.Кратные множители многочлена. Производная многочлена над полем нулевой характеристики. Кратность неприводимых множителей многочлена и его производной.
17.Деление многочлена на двучлен х-а. Теорема Безу. Схема Горнера. Формула Тейлора.
18.Многочлены над полем комплексных чисел. Основная теорема алгебры и ее следствия. Формулы Виета.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 |
