Программа учебной дисциплины Б3.В. ОД.8. Абстрактная и компьютерная алгебра (стр. 1 )

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Алтайская государственная академия образования имени »

(ФГБОУ ВПО «АГАО»)

Физико-математический факультет

Кафедра математики и методики обучения математике

ПРИНЯТО Ученым советом физико-математического факультета Протокол № 1 от «13» сентября 2013 г.

УТВЕРЖДАЮ Первый проректор ______________ «13» сентября 2013 г.

ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ

Б3.В. ОД.8. АБСТРАКТНАЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ АЛГЕБРА

Направление подготовки 050100.62 Педагогическое образование

Профили подготовки Информатика

Квалификация (степень) бакалавр

Форма обучения заочная

Составитель:

к. ф.-м. н., доцент кафедры математики и методики обучения математике

_________________

Бийск 2013

Программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО по направлению подготовки 050100.62 Педагогическое образование (утвержден 22 декабря 2009 г. № 788) и учебного плана по направлению подготовки 050100.62 Педагогическое образование (профиль Информатика), утвержденного Ученым советом ФГБОУ ВПО «АГАО» (от 10 мая 2011 г., протокол № 8).

Распределение по семестрам

Номер семестра	Учебные занятия	Число курсовых проектов (работ), расчетных заданий	Форма промежуточ-ной аттестации (зачет, экзамен)
Общий объем час./з. ед.	В том числе
Аудиторные	Самостоя-тельная работа
Всего	Из них
Лекции	Практ. зан.	Лаборатор-ные
3/з	36/1	14	10	4	–	22
3/л	72/2	2		2	–	70	-	зачет
Всего:	108/3	16	10	6	–	92

Программа обсуждена на заседании кафедры математики и методики обучения математике

Протокол № 11 от «26» июня 2013 г.

Заведующий кафедрой _____________________

1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ

Цель дисциплины - формирование систематизированных знаний в области абстрактной и компьютерной алгебры, необходимых будущему учителю для глубокого понимания теоретических основ школьного курса информатики.

Задачи дисциплины:

─  формирование понятийного аппарата абстрактной алгебры, знаний и умений, необходимых для решения типовых задач данной предметной области;

─  ознакомление учащихся с фундаментальной задачей компьютерной алгебры – представлением математических объектов в ЭВМ;

─  формирование профессиональной предметной направленности знаний, умений и навыков, полученных при изучении дисциплины.

2. МЕСТО ДИСЦИПЛИНЫ В СТРУКТУРЕ ООП

Дисциплина «Абстрактная и компьютерная алгебра» относится к вариативной части профессионального цикла (Б3.В. ОД.8.). Областью профессиональной деятельности бакалавров, на которую ориентирует дисциплина, является образование.

Освоение дисциплины готовит к работе со следующими объектами профессиональной деятельности бакалавров:

– обучение;

– воспитание;

– развитие;

– образовательные системы.

Профильной для данной дисциплины является профессиональная деятельность бакалавров.

Для освоения дисциплины студенты используют знания, умения и способы деятельности, сформированные в процессе изучения предметов «Математика» и «Информатика» на предыдущем уровне образования, а также знания, умения, навыки, способы деятельности и установки, полученные и сформированные в ходе изучения дисциплин: «Основы математической обработки информации», «Алгебра и геометрия», «Математический анализ и дифференциальные уравнения», «Теория чисел и числовые системы».

Освоение данной дисциплины является необходимой основой для изучения по учебному плану смежных с нею и последующих дисциплин: «Методика обучения информатике», «Теоретические основы информатики», «Методы и средства защиты информации», а также различных курсов по выбору, связанных с теоретическими основами информатики и системами компьютерной алгебры.

3. ТРЕБОВАНИЯ К РЕЗУЛЬТАТАМ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ

Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих компетенций:

─  владение современными формализованными математическими, информационно-логическими и логико-семантическими моделями и методами представления, сбора и обработки информации (СК-1);

─  способность реализовывать аналитические и технологические решения в области программного обеспечения и компьютерной обработки информации (СК-2).

В результате изучения дисциплины обучающийся должен:

знать:

─  основные понятия абстрактной алгебры, необходимые для глубокого понимания теоретических основ компьютерной алгебры;

─  способы представления в компьютере математических объектов (целых и рациональных чисел, многочленов от одной и нескольких переменных, рациональных и алгебраических выражений);

уметь:

─  использовать методы решения основных типов задач абстрактной и компьютерной алгебры;

владеть:

─  представлениями о взаимосвязи абстрактной и компьютерной алгебр.  

4. ОБЪЕМ ДИСЦИПЛИНЫ И ВИДЫ УЧЕБНОЙ РАБОТЫ

Общая трудоемкость дисциплины составляет 3 зачетных единицы.

Вид учебной работы	Всего часов	Семестры
5	6
Аудиторные занятия (всего)	16	14	2
В том числе:
Лекции (Л)	10	10
Практические занятия (ПЗ)	6	4	2
Самостоятельная работа студентов (СРС) (всего)	92	22	70
В том числе:
Подготовка к контрольному опросу (входной контроль)	8	8
Подготовка к лекционным занятиям	10	10
Подготовка к практическим занятиям	4	4
Проработка материала лекций в рекомендуемой литературе	12		12
Проработка материала практических занятий в рекомендуемой литературе	8		8
Самостоятельное изучение темы «НОД и НОК многочленов. Алгоритм Евклида» из раздела  № 4 в рекомендуемой литературе	4		4
Самостоятельное изучение темы «Многочлены над полями C, R, Q» из раздела  № 4 в рекомендуемой литературе	6		6
Самостоятельное изучение темы «Многочлены от нескольких переменных» из раздела  № 4 в рекомендуемой литературе	4		4
Самостоятельное изучение темы «Конечные поля» из раздела  № 5 в рекомендуемой литературе	6		6
Самостоятельное изучение темы «Криптосистемы с открытым и закрытым ключом. Электронная подпись» из раздела  № 6 в рекомендуемой литературе	8		8
Выполнение индивидуального домашнего задания	12		12
Подготовка к итоговому тесту	10		10
Вид промежуточной аттестации	зачет		зачет
Общая трудоемкость в часах:	108	36	72
Общая трудоемкость в зачетных единицах:	3	1	2

5. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

5.1. Содержание разделов (модулей) дисциплины

№ п/п	Наименование раздела (модуля) дисциплины	Содержание
1	Алгебры	Бинарные алгебраические операции. Алгебры. Бинарные алгебраические операции; виды бинарных операций. Понятие алгебры, алгебраической системы. Алгебры с одной бинарной алгебраической операцией. Полугруппы. Моноиды. Группа. Простейшие свойства группы. Группа, примеры групп; аддитивная и мультипликативная формы записи групп. Простейшие свойства группы. Подгруппы. Нормальные делители и фактор-группы. Подгруппа; примеры подгрупп; критерий подгруппы. Сравнения по подгруппе. Смежные классы. Теорема Лагранжа. Нормальные делители и фактор-группы. Кольца. Идеалы кольца. Фактор-кольцо. Алгебры с двумя бинарными алгебраическими операциями. Кольцо; примеры колец. Простейшие свойства кольца. Подкольцо данного кольца. Критерий подкольца. Идеалы кольца. Сравнения по идеалу. Фактор-кольцо. Поля. Простейшие свойства полей. Определение поля; примеры полей. Простейшие свойства поля; отсутствие в поле делителей нуля.
2	Делимость и сравнения в кольце целых чисел	Алгоритм Евклида и его сложность; теорема Ламе. Расширенный алгоритм Евклида. Кольцо классов вычетов Zm. Мультипликативная группа классов вычетов, взаимно простых с модулем. Поле классов вычетов по простому модулю Zp. Теоремы Эйлера и Ферма. Решение линейных сравнений. Китайская теорема об остатках.
3	Модулярная арифметика	Модулярная арифметика. Точные вычисления, использующие модулярную арифметику. Представление больших целых чисел в памяти компьютера. Операции над большими целыми числами. Извлечение корней из больших целых чисел. Разложение целых чисел на множители. Тесты простоты.
4	Многочлены от одной и нескольких переменных	Кольцо многочленов от одной переменной над полем. Теорема о делении с остатком. Деление многочлена на двучлен, корни многочлена. Построение кольца многочленов над полем. Отношение делимости в кольце многочленов над полем. Теорема о делении с остатком. Деление на двучлен, схема Горнера, формула Тейлора. Корни многочлена, теорема Безу. НОД и НОК многочленов. Алгоритм Евклида. НОД и НОК многочленов. Алгоритм Евклида. Взаимно простые многочлены. Неприводимые над данным полем многочлены. Приводимые и неприводимые над данным полем многочлены. Разложение многочлена в произведение нормированных неприводимых множителей, единственность разложения. Многочлены над полями C,R, Q. Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел. Разложение многочлена над полем комплексных чисел в произведение линейных множителей. Формулы Виета. Сопряжённость мнимых корней многочлена с действительными коэффициентами. Решение уравнений третьей и четвертой степени. Рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами. Многочлены от нескольких переменных. Кольцо многочленов от нескольких переменных. Лексикографическое упорядочение членов многочлена. Симметрические многочлены. Основная теорема о симметрических многочленах. Компьютерное представление многочленов. Алгоритмы операций над многочленами. Полиномиальная арифметика: представление многочленов в виде списков; сложение, умножение и деление многочленов; разложение многочленов на множители; вычисление степеней; вычисление многочленов.
5.	Расширения полей. Конечные поля	Алгебраические и трансцендентные числа. Простое алгебраическое и конечное расширения поля Определение алгебраических и трансцендентных чисел над полем. Простое алгебраическое расширение поля. Минимальный многочлен алгебраического над полем числа и его свойства. Поле разложения многочлена. Конечное расширение поля. Конечные поля. Характеристика поля. Изоморфизм конечного простого поля характеристики p полю классов вычетов Zp. Существование конечного поля, содержащего pn элементов.
6.	Введение в теорию кодирования	Алфавитное кодирование. Алфавитное кодирование. Разделимые и префиксные схемы. Кодовое дерево. Неравенство Макмиллана. Помехоустойчивое кодирование. Помехоустой-чивое кодирование. Кодирование с минимальной избыточностью. Кодовое расстояние. Коды с обнаружением и исправлением ошибок. Введение в криптографию. Симметричные и асимметричные криптосистемы. Криптосистемы с открытым и закрытым ключом. Электронная подпись.

5.2. Разделы дисциплин и виды занятий