Лекция №1. “Введение” (стр. 3 )

В теоретическом исследовании возможны еще исторический метод.

Исторический позволяет исследовать возникновение, формирование и развитие процессов и событий в хронологической последовательности с целью выявить внутренние и внешние связи, закономерности и противоречия. Данный метод исследования используется в основном в общественных науках.

Системный подход заключается в разработке методов исследования и конструирования сложных объектов - систем разных классов и типов.

Этап теоретических разработок научного исследования включает следующие основные разделы:

-  анализ физической сущности процессов, явлений;

-  формулирование гипотезы исследования;

-  построение физической (имитационной) модели;

-  проведение математического исследования;

-  анализ теоретических решений;

-  формулирование выводов.

2. Моделі досліджень

Первичным в познании физической сущности процессов выступают наблюдения. Любой процесс зависит от многих действующих на него факторов. Каждое наблюдение и измерение может зафиксировать лишь некоторые из них. Для того, чтобы наиболее полно понять процесс необходимо иметь большое количество наблюдений и измерений. Выделить главное и затем глубоко исследовать процессы или явления с помощью обширной не систематизированной информации чрезвычайно трудно. Поэтому такую информацию стремятся «сгустить» в некоторое абстрактное понятие – модель.

Под моделью понимают искусственную систему, отображающую с определенной степенью точности основные свойства изучаемого объекта – оригинала. Модель находиться в определенном соответствии с изучаемым объектом, может заменить его при исследовании и позволяет получить информацию об изучаемом объекте.

Метод моделирования – изучение объектов с помощью моделей – один из основных в современных исследованиях. При построении модели свойства и сам объект обычно упрощают и обобщают. Чем ближе модель к оригиналу, тем удачнее она описывает объект, тем эффективнее его исследование и тем ближе полученные результаты к истине, добываемой в исследовании.

Модели могут быть физические, математические, натурные.

Физическая модель позволяет наглядно представить протекающие в действительности процессы (см. рис.2.1).

Математические модели позволяют количественно исследовать явления, которые к тому же часто трудно поддаются изучению на физических моделях (2.1).

Натурные модели представляют собой масштабно приемлемые объекты, которые позволяют наиболее полно исследовать процессы, протекающие в натурных условиях.

Главное требование к модели – достаточная адекватность, т. е. она должна описывать закономерности изучаемого явления с требуемой точностью.

Рисунок 2.1. Физическая модель транспортной задачи

Большой интерес представляет кибернетическая модель «черного ящика» (см. рис.2.2), описывающая систему, структура которой неизвестна и недоступна для наблюдения. Известны лишь «х» (вход), «у» (выход) и «z» (помехи – воздействие среды).

Задача сводится к подбору таких значений «х», которые обеспечили бы соответствующие значения «у». Затем статистическим путем можно построить математическую модель системы (процесса, явления).

Рисунок 2.2. Схема «черного ящика».

Анализ многообразных физических моделей изучаемых процессов исследуется математическими методами, которые могут быть разделены на такие основные группы:

-  аналитические методы исследования (математика, дифференциальные и интегральные уравнения – для непрерывных детерминированных процессов); математический анализ с использованием эксперимента (метод аналогий, теория подобия);

-  вероятностно-статистические методы исследования (математическая статистика, дисперсный и корреляционный анализ, метод Монте-Карло, марковские процессы – для случайных процессов дискретных и непрерывных);

-  методы системного анализа (исследовательских операций, теория массового обслуживания, теория управления – для систем с многообразными и сложными взаимосвязями элементов).

В технических науках широко используют прикладную математику, которая использует так называемые рациональные методы, допускающие наличие формулировок и утверждений, справедливых лишь в реальных условиях. При этом они могут уточняться в ходе исследований, базироваться на доводах, основанных на приближенных решениях, аналогиях и экспериментах и т. п., что неприемлемо в «чистой» математике.

3. Аналитические методы исследований

В исследованиях часто используют аналитические методы, с помощью которых устанавливают математическую зависимость между параметрами изучаемого объекта. Эти методы позволяют глубоко и всесторонне изучить исследуемые процессы, установить также количественные связи между аргументами и функциями, глубоко проанализировать исследуемые явления. При этом широко применяют элементарные функции и уравнения, особенно когда стремятся упростить исследуемую модель и получить приближенные решения составленной задачи. Достаточно часто используют линейные функции и уравнения. В практике часто встречаются и процессы, протекающие по принципу «ценного» механизма (например – распределение по разным видам транспорта пассажиров пригородных поездов (растворение)). Для их исследования используют экспоненциальные, параболические, показательные функции. Чтобы изучить колебательные процессы (изменение спроса по сезонам, месяцам и т. д.), применяют тригонометрические функции. В большинстве случаев элементарные функции непрерывны, что позволяет их дифференцировать и интегрировать. Это дает возможность определить наилучшие и наихудшие условия протекания исследуемого процесса путем нахождения экстремума. Дифференциальные уравнения используются для анализа только одной переменной.

[Пример – оптимальный размер заказа].

Недостатком использования математической модели является: необходимо задать условия однозначности так, чтобы анализировать именно «тот» процесс, а не видоизмененный; кроме того, часто отыскать аналитические выражения с учетом однозначности или невозможно или чрезвычайно трудно. Не лишены недостатков и экспериментальные методы, т. к. – результаты эксперимента не могут быть распространены на другие, даже похожие, процессы, т. к. они имеют множество индивидуальных отличий и. т.п. Поэтому на практике часто сочетают аналитические и экспериментальные методы.

В ряде случаев встречаются процессы, которые не могут быть непосредственно описаны дифференциальными уравнениями. Зависимость между переменными величинами в таких процессах, в конечном счете, можно установить лишь экспериментально.

4. Вероятно-статистические методы исследований

Во многих случаях (очень часто!) необходимо исследовать не только детерминированные, но и случайные (стохастические) процессы. Все транспортные процессы протекают и выполняются в условиях непрерывно меняющейся обстановки, те или иные события могут произойти или нет. В связи с этим приходится рассматривать и анализировать случайные, вероятностные или стохастические связи, в которых каждому аргументу соответствует множество значений функции.

Однако, не смотря на случайный характер событий, они подчиняются определенным закономерностям, рассматриваемым в теории вероятности. Для таких статистических законов теория вероятности позволяет предсказать исход не какого-либо одного события, а средний результат случайных событий и тем точнее, чем большее число анализируемых явлений. Теория вероятности является математическим отражением законов, изучает случайные события и базируется на следующих основных определениях.

Совокупность – множество однородных событий. Совокупность, содержащая самые разные варианты массового явления (все!) называется генеральной или большой выборкой N; обычно же изучают лишь часть генеральной совокупности, которая называется выборочной совокупностью или малой выборкой N1.

Вероятностью Р(х) события называется отношения числа случаев N(x), которые приводят к наступлению события х к общему числу возможных случаев .

Теория вероятности рассматривает теорию распределения случайных величин и их характеристики; математическая статистика занимается способами обработки и анализа эмпирических событий (о ней подробнее позже, после изучения текущей темы).

Для исследования сложных процессов вероятностного характера применяют метод Монте-Карло (с 1950г.). С его помощью решают широкий круг задач: имитационное моделирование; оптимизационные задачи.

Метод Монте-Карло, называемый методом статистического моделирования, представляющий собой численный метод решения сложных задач (пример – расчет площади сложной фигуры). Он основан (?) на использовании случайных чисел, моделирующих вероятностный процесс. Результаты решения позволяют установить эмпирические зависимости исследуемых процессов. Его основой является закон больших чисел Чебышева:

(2.4)

5. Методы системного анализа

Под системным анализом понимают совокупность приемов и методов для изучения сложных объектов – систем, представляющих собой сложную совокупность взаимодействующих между собой элементов. Взаимодействующие элементы системы характеризуются прямыми и обратными связями. Сущность системного анализа состоит в том, чтобы выявить эти связи и установить влияние их на поведение всей системы в целом.

Системный анализ – совокупность методов и средств, используемых при исследовании и конструировании сложных и сверхсложных объектов.