Фонд оценочных средств по направлению подготовки (специальности)38.03.01 Экономика направленность (профиль/специализация) «Общий » (стр. 10 )

Условный экстремум. Пусть необходимо найти экстремум функции , при условии, что переменные x, x, …, xудовлетворяют уравнениям

. (8)

Предполагается, что функции имеют непрерывные частные производные по всем переменным. Уравнения (8) называют уравнениями связи.

Говорят, что в точке , удовлетворяющей уравнениям связи (8), функция имеет условный максимум (минимум), если неравенство () имеет место для всех точек X, координаты которых удовлетворяют уравнениям связи.

Легко заметить, что задача определения условного экстремума совпадает с задачей нелинейного программирования.

Один из способов определения условного экстремума применяется в том случае, если из уравнений связи (8) m переменных, например, x, x, …, x можно явно выразить через оставшиеся n-m переменных:

. (9)

Подставив полученные выражения для x в функцию z, получим

или

. (10)

Задача сведена к нахождению локального (глобального) экстремума для функции (10) от n-m переменных. Если в точке функция (10) имеет экстремум, то в точке функция имеет условный экстремум.

Задача 2. Решить задачу, максимизации производственной функции z, если функция z равна:

.

Решение. Необходимо найти переменные x и x, удовлетворяющие уравнению

(11)

(уравнению связи), условию неотрицательности и обращение в максимум функцию

(12)

Ограничение (11) вместе с условиями неотрицательности определяют на плоскости xOx отрезок - замкнутую ограниченную область (рис. 1)

Согласно теореме Вейерштрасса максимум функции может достигаться либо внутри этого отрезка, либо в граничных точках: А(4;0) или В(0;2).

Следовательно, необходимо найти условный экстремум функции (12), если уравнение связи имеет вид (11).

Из уравнения связи найдем, например, x и подставим в (12): x=4-2x, .

Упростив, получим

. (13)

При этом x. Найдем глобальный экстремум функции (13) на отрезке . Производная этой функции равна .

Стационарные точки: x=0, x=1 и x=2. Одна из них, x=1, лежит внутри отрезка, две другие совпадают с концами. Найдем значение функции (13) в стационарной точке x=1 и на концах отрезка: z(1)=4; z(0)=0; z(2)=0.

Следовательно, и достигается при x=1, x=4-2x=2, то есть в точке (2;1).

Максимальный объем производства, равный достигается при условии, что затраты производственных факторов 1-го и 2-го типа равны соответственно 2 ед. и 1 ед.

Второй способ определения условного экстремума начинается с построения вспомогательной функции Лагранжа, которая в области допустимых решений достигает максимума для тех же значений переменных x,x,…, x, что и целевая функция z.

Пусть решается задача определения условного экстремума функции при ограничениях (8).

Составим функцию

, (14)

которая называется функцией Лагранжа. - постоянные множители (множители Лагранжа). Отметим, что множителям Лагранжа можно придать экономический смысл. Если , - доход, соответствующий плану , а функция - издержки i-го ресурса, соответствующие этому плану, то цена (оценка) i-го ресурса, характеризующая изменение экстремального значения целевой функции в зависимости от изменения размера i-го ресурса (маргинальная оценка). L(X) – функция n+m переменных x,x,…, x, . Определение стационарных точек этой функции приводит к решению системы уравнений:

(15)

Легко видеть, что , т. е. в (15) входят уравнения связи. Таким образом, задача нахождения условного экстремума функции сводится к нахождению локального экстремума функции L(X). Если стационарная точка найдена, то вопрос о существовании экстремума в простейших случаях решается на основании достаточных условий экстремума – исследования знака второго дифференциала dL(X) в стационарной точке при условии, что переменные приращения связаны соотношениями:

, (16)

полученными путем дифференцирования уравнений связи.

Задача. Найти наибольшее значение функции при ограничениях:

Решение. ОДР ограничена прямыми , осями координат и гиперболой , уравнение которой приводится к виду .

Линии уровня целевой функции . Для разных значений C графиком уравнения является парабола с осью симметрии, совпадающей с осью ординат.

При C=0 парабола проходит через начало координат. При C>0 параболы сдвигаются вниз. Перемещая в направлении возрастания C, получим, что линии уровня покидают ОДР через точку X* пересечения гиперболы и прямой .

Решая систему, составленную из этих двух уравнений, получим:

, ; .

или .