Фонд оценочных средств по направлению подготовки (специальности)38.03.01 Экономика направленность (профиль/специализация) «Общий » (стр. 9 )

Точка , в которой все частные производные функции равны 0, называется стационарной точкой.

Необходимое условие экстремума. Если в точке функция имеет экстремум, то частные производные функции в этой точке равны нулю:

.

Следовательно, точки экстремума функции удовлетворяют системе уравнений:

(5)

Как и в случае одной переменной, необходимое условие не является достаточным для того, чтобы стационарная точка была точкой экстремума. Для получения достаточных условий следует определить в стационарной точке знак дифференциала второго порядка. Дифференциал второго порядка обозначается и равен сумме произведений частных производных второго порядка на соответствующие приращения аргументов. Если от частной производной найти частную производную по переменной xj, то получим частную производную второго порядка по переменным x и x , которая обозначается .

В этом случае .

Достаточные условия экстремума.

а) в стационарной точке функция имеет максимум, если , и минимум, если при любых Dxi и Dxj, не обращающихся в нуль одновременно;

б) если может принимать в зависимости от Dxi и Dxj, и положительные, и отрицательные значения, то в точке экстремума нет;

в) если может обращаться в нуль не только при нулевых приращениях Dxi и Dxj , то вопрос об экстремуме остается открытым.

Для функции двух переменных достаточные условия еще не очень сложны. Существует четыре частные производные второго порядка:

, ,.

Из них две смешанные: , , если непрерывны, то равны.

Найдем значения частных производных второго порядка в стационарной точке :

; ;

; .

(можно убедиться, что ). Обозначим через D определитель, составленный из для

Тогда достаточные условия экстремума функции двух переменных имеют вид:

а) если и (), то в точке функция имеет максимум; если и (), то в точке минимум;

б) если , то экстремума нет;

в) если , то вопрос об экстремуме остается открытым.

Схема определения экстремума функции n переменных совпадает с правилами определения локального экстремума функции одной переменной.

Задача 1. Исследовать на экстремум функцию .

Решение. Находим частные производные:

. (6)

Приравниваем частные производные к нулю:

(7)

Решаем систему (7). Вычитая из 1-го уравнение 2-ое, получим 4x-4x=0, поэтому x=x и из 1-го уравнения получаем x-x=0, откуда: x=0 или x=1.

Имеем три стационарные точки: X(0;0), X(1;1), X(-1;-1).

Найдем вторые частные производные, используя (6):

;

;

;

.

Вычисляем значения вторых частных производных в каждой стационарной точке, составляем определитель D и применяем достаточные условия экстремума.

В точке X(0;0) a=-2; a=a=-2; a=-2.

.

Вопрос об экстремуме остается открытым (такая точка называется седловой).

В точке X2(1;1) (а также и в X3 (-1;-1)):

Функция в этих точках имеет минимум, так как

.

Выше речь шла о локальном экстремуме функции n переменных. Как правило, в практических задачах необходимо определить наименьшее и наибольшее значения функции (глобальный экстремум) в некоторой области.

Говорят, что функция имеет в точке заданной области D глобальный максимум (наибольшее значение) или глобальный минимум (наименьшее значение), если неравенство или , соответственно выполняется для любой точки XÎD.

Если область D замкнута и ограничена, то дифференцируемая функция достигает в этой области своих наибольшего и наименьшего значений или в стационарной точке, или в граничной точке (теорема Вейерштрасса).

Следовательно, чтобы найти наибольшее (наименьшее) значение функции в области D, нужно:

1)  найти все стационарные точки внутри области D и вычислить значения функции в них;

2)  исследовать функцию на экстремум на границе области;

3)  сравнить значения функции, полученные п. 1) и 2): наибольшее (наименьшее) из этих чисел и будет наибольшим (наименьшим) значением функции во всей области.

Граница области D аналитически может быть задана системой уравнений (условий) относительно переменных x, x, …, x. Поэтому, исследуя экстремальные свойства функции на границе, необходимо решить задачу определения условного экстремума.