, 
(9)
Геометрический смысл метода Ньютона.
Пусть на отрезке 
, концы которого – приближенные значения корня (
– с недостатком, 
– с избытком), 
такова, что 
и 
для любых 
. Тогда в качестве следующего приближения 
берут точку пересечения с отрезком касательной, проведенной в точке В:
Уравнение касательной: 
; полагая 
, 
имеем 
. Метод Ньютона называют также методом касательных.
Если имеет непрерывную вторую производную 
, где 
, то сходимость квадратичная. Об условиях сходимости метода Ньютона позволяет судить теорема Канторовича, см. [5].
Метод секущих.
Заменим в методе Ньютона производную 
на 
и получим итерационную формулу
, (10)
Приближение 
является абсциссой точки пересечения секущей, проведенной через точки 
и 
с осью 
.
Частным случаем метода секущих является метод хорд.
Один из концов отрезка закрепляют: правый при , левый при 
, получая при этом формулы
, 
и
,
§ 3. Некоторые указания по использованию компьютерных средств.
Для решения уравнения 
в системе Mathematica можно использовать следующие встроенные функции:
Solve[f[x]= =0,x] – аналитическое решение;
NSolve[f[x]= =0,x] – численное решение;
FindRoot[f[x]= =0, {x, x0}] – численное решение по начальному приближению 
методом итераций;
Plot[f[x], {x, x1, x2}] – график 
на 
.
PH вычисляем при помощи функции Log[10, x].
В рекомендованной литературе можно найти программы на Pascal решения уравнения (6) методами хорд и половинного деления.
Глава II
Решение систем ЛАУ.
§ 1. Химические задачи, описываемые системами ЛАУ.
Расчет смесей сложного состава.
Пусть требуется приготовить смесь, содержащую 
веществ. – количество единиц 
-го вещества в смеси 
.
Для приготовления смеси имеется 
компонентов. 
– количество единиц -го вещества, которое содержит 
-й компонент 
.
Если 
– количество -го компонента, которое необходимо взять для приготовления смеси, то
, (1)
Система (1) описывает процедуру приготовления смеси.
Задача 1. Приготавливается нитрующая смесь из трех компонентов, содержащих воду, 
, 
. Требуется установить, какое количество компонента необходимо взять, чтобы получить М кг смеси, содержащей 
% соответственно 
, , , если их содержание в каждом компоненте известно и представлено в виде матрицы третьего порядка.
Решение. Система (1) будет иметь вид
Исследование состава смеси при помощи системы химических сенсоров.
Сенсором называют химически чувствительный прибор, выходной сигнал которого зависит от концентрации определенного вещества в газовой среде или в растворе.
Задача 2. Пусть имеется смесь из трех веществ А, В, С и три сенсора, чувствительности которых к данным веществам известны. При этом в любом сенсоре выполняются следующие условия:
1) сигналы, обусловленные присутствием в смеси каждого из веществ, дают аддитивный вклад в общий отклик сенсора 
;
2) величина сигнала от определенного вещества прямо пропорционально его концентрации, значение коэффициента пропорциональности для каждого из веществ индивидуально.
Требуется составить систему ЛАУ для определения концентрации компонентов А, В, С в смеси исходя из величины сигнала, регистрируемого каждым сенсором.
§ 2. О сходимости последовательностей векторов в n-мерном пространстве.
Определение 1. Пусть имеется последовательность векторов 
. Вектор 
называют пределом этой последовательности, если существует каждый из пределов 
(
).
Определенная таким образом сходимость называется сходимостью по составляющим.
Аналогично можно определить сходимость квадратичных матриц.
Определение 2. Нормой вектора 
называется действительное число 
, удовлетворяющее условиям:
1) 
, если 
; 
;
2) 
для любых cÎR;
3) 
.
Примеры норм векторов.
1) 
; 2) 
; 3) 
, где 
– скалярный квадрат вектора .
Определение 3. Говорят, что последовательность векторов 
сходится к вектору по норме, если 
.
Теорема. сходится к по составляющим тогда и только тогда, когда , т. е. в конечномерном пространстве эти два вида сходимости эквивалентны.
§ 3. Методы решения систем ЛАУ.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 |
