Краткий конспект лекционного курса «Математическое моделирование химических процессов» (стр. 5 )

Обратимые реакции первого порядка.

Рассмотрим одностадийную обратимую реакцию первого порядка:

.

Выражение для скорости превращения вещества будет иметь вид . Вспомним (9): . Получим кинетическое уравнение или , где .

Задача 2. Некоторое вещество , концентрация которого в момент равна , участвует в обратимой реакции, где оба процесса являются реакциями первого порядка. Требуется получить уравнение кинематической кривой и найти .

Решение. , где . отсюда следует, что . Начальное условие: откуда следует, что ; ; .

Найдем выражение для концентраций исходного вещества и продукта:

. Отсюда ; .

Устремим :

; .

Выразим :

. Найдем : выражение для запишем в виде . Отсюда , отсюда . Получим ; , где .

Обратимые реакции разных порядков.

Пример. . Будем исходить из допущения, что разложение – реакция второго порядка, обратимая реакция – первого порядка.

,

. С другой стороны . Исключив , получим

. Устремим : . Вычитаем одно из другого: . Обозначим , . Тогда . Учитывая, что , приводим уравнение к виду .

Последовательные реакции.

Имеется процесс, протекающий по схеме: , – константа скоростей реакций.

– скорость накопления вещества . . Обозначим , . Тогда получим кинетические уравнения процесса:

, где – порядки реакций

Математической моделью рассматриваемого процесса является система обыкновенных дифференциальных уравнений.

Задача 3. Известно, что двухстадийная последовательная реакция протекает следующим образом: первая стадия – реакция второго порядка; вторая стадия – реакция первого порядка. Установить функциональную зависимость концентраций исходного вещества и продукта реакции от времени , если известны константы , и начальные условия: концентрация исходного вещества равна 1, концентрация продукта равна 0.

Решение. Обозначим концентрацию исходного вещества через , продукта – через . Тогда получим . Из первого уравнения с учетом начальных условий . Тогда для имеем уравнение . В явном виде оно не решается (смотреть [1]).

Построение кинетических кривых для двухстадийной реакции.

Имеется двухстадийная необратимая реакция, каждая стадия представляет собой реакцию первого порядка . Процесс описывается следующей системой:

где , .

Задача 4. Построить кинетические кривые для каждого из веществ, участвующих в процессе. Найти max концентрации промежуточного вещества.

Решение. Из первого уравнения системы находим ; получаем откуда при и при .

Точкой max в первом случае является , во втором – . Точка перегиба в любом случае .

Для построения кинетической кривой вещества учтем, что . Получим: возрастает, . Точка перегиба совпадает с точкой max .

Последовательность двух обратимых реакций первого порядка.

, – концентрации .

Кроме того, , т. е. . . Получаем систему

Затем , и т. д.

Последовательно-параллельные реакции первого порядка.