Рассмотрим смесь, состоящую из 
веществ с концентрациями 
, 
. Предположим, что любое из них вступает во взаимодействие с любым другим веществом этой смеси. Примем, что каждая из реакций в этой смеси первого порядка. Это – последовательно-параллельные реакции первого порядка.
Для трех веществ:
Задача 5. Пусть вещество 
распадается по двум параллельно протекающим реакциям 
. Определить концентрации продуктов по завершении реакции, если известно 
, 
, и 
.
Решение.
Из первого уравнения, учитывая начальные условия, находим 
. Из двух других уравнений 
. Учитывая начальные условия, 
.
С другой стороны, 
откуда 
отсюда 
, 
.
При 
: 
, 
, 
.
Далее следует обсудить схему 
и пример Душкевича 
, где 
– фермент.
§ 3. Некоторые одношаговые методы численного решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений и систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
Пусть на отрезке 
требуется найти решение 
дифференциального уравнения.
, удовлетворяющее начальному условию 
(1)
Решение будем искать в виде таблицы
|
|
|
|
……. | ……. |
|
|
В одношаговых методах значение 
определяется только предыдущим значением 
.
Кратко изложим общий подход.
Интегрируя (1) в пределах от 
до 
, получим равенство 
, которое посредством интеграла связывает значения решения в двух точках, удаленных друг от друга на 
. Указав метод приближенного вычисления интеграла 
, мы получим одно из правил численного интегрирования уравнения (1). Простейший пример: применим одноточечную 
формулу левых прямоугольников 
, пользуясь тем, что 
известно. Тем самым получим метод Эйлера:
(2)
Общий подход к методам Рунге-Кутта следующий: представить 
как некоторую квадратурную формулу – 
. При этом параметры данной линейной комбинации вычислять на основании требования, чтобы разложение в ряд Тейлора 
и разложение по степеням комбинации 
совпадали до членов с возможно более высокими степенями независимо от 
в уравнении (1). Исходя из разложения в ряд Тейлора с учетом 
получим следующие частные случаи метода Рунге-Кутта:
1) метод Рунге-Кутта первого порядка, который совпадает с методом Эйлера
2) метод Рунге-Кутта второго порядка
и т. д.
Мы будем использовать метод Рунге-Кутта четвертого порядка:
(3)
где 
, 
, 
, 
(4)
Обобщим формулы (3), (4) на случай системы обыкновенных дифференциальных уравнений, получим 
, где 
– вектор решений системы, вычисленный при 
; 
; 
; 
; 
.
§ 4. Указания по компьютерной части.
В системе Mathematica имеются следующие функции:
DSolve[{ур1, …, урN, усл1, …, услN},{у1[x], …, уN[x]}, x] – символьное решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Условия усл1, …, услN должны быть представлены в форме уравнений (с двумя знаками = =); x – независимая переменная.
NDSolve[{уравнения, условия}, {у1[x], …, уN[x]}, {x, xmin, xmax}] – численное решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений на отрезке [xmin, xmax].
Если 
или 
, то Plot[{у1[x]/.f, у2[x]/.f…}, {x, xmin, xmax}], Plotstyle→{RGBColor[0,0.5,0], RGBColor[…]}, AxesLabel→{x, y(x)} или другие рисует график всех функций у1[x], …, у2[x] на отрезке [xmin, xmax].
В Excel смотрите программу Душкевича, можно осуществить метод Эйлера без VBA, метод Рунге-Кутта с VBA (без VBA – очень громоздко).
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 |
