1) Метод Гаусса (без подробностей).
2) Метод обратной матрицы (без подробностей).
3) Метод Крамера (без подробностей).
4) Итерационные методы.
При больших 
важным становится вопрос о сокращении вычислительной работы. В методе Гаусса требуется выполнить 
умножений и делений, тогда как в методе Крамера – 
Метод простой итерации.
Пусть дана система 
(2), 
. Приведем ее к виду 
(3). Сделать это можно, например, следующим образом:
Пусть 
, причем 
. Тогда 
, 
, 
. Положив 
, 
получим (3).
Теперь последовательность приближений 
к точному решению 
строим по формуле 
(4), 
Начальное приближение 
может быть в принципе любым.
Укажем некоторые достаточные условия сходимости последовательности .
Теорема. Для сходимости последовательности в методе (4) достаточно выполнения одного из двух условий:
1) 
;
2) 
.
§ 4. Некоторые указания по компьютерной части.
Система Mathematica содержит стандартную функцию, реализующую метод Гаусса: X=LinearSolve[A, B]. Dot[A, X]= =B выполняет проверку.
Метод обратной матрицы легко реализуется как в Mathematica, так и в Excel. Представляется интересным реализовать метод простой итерации в Excel. По поводу реализации метода Гаусса в Excel смотри [1].
Глава III
Приближенное вычисление интегралов.
§ 1. Задача о нахождении радиуса частицы.
Пусть в результате химического синтеза образуется раствор, предположительно – коллоидный. По данным электронной микроскопии форма частиц в полученном растворе близка к сферической, а их распределение подчиняется логарифмически нормальному закону с параметрами 
и 
. Определить средний радиус 
частиц с точностью до 
.
Решение. Пусть случайная величина 
– радиус частицы. Случайная величина имеет логарифмически нормальное распределение с параметрами и , если плотность распределения 
имеет вид
(1)
где 
– дисперсия случайной величины .
Средний радиус частиц определим как математическое ожидание случайной величины :
(2)
Таким образом, задача сводится к вычислению несобственного интеграла
(3)
§ 2. Численное интегрирование.
Наиболее часто приближенное значение интеграла ищут в виде
(4)
Приближенное равенство (4) называют квадратурной формулой, определяемой узлами 
и коэффициентами 
. Разность 
называют остатком квадратурной формулы.
Некоторые квадратурные формулы с равноотстоящими узлами.
1) формулы прямоугольников
левых: 
правых: 
(5)
средних: 
2) формулы Ньютона-Котеса
(6)
где
.
Формулы Ньютона-Котеса малопригодны для вычислений, когда велико.
При 
получим формулу трапеций
(7)
Если разбить отрезок 
на равных частей и к каждому отрезку 
применить формулу трапеций (7), получим составную формулу трапеций:
(8)
При 
формула (1) принимает вид
(9)
формула Симпсона.
Если (количество узлов) четное число, применим к удвоенному частичному отрезку 
формулу (9). В результате суммирования получим:
(10)
составная формула Симпсона.
Если 
непрерывна на , можно получить следующие оценки погрешности для рассматриваемых выше квадратурных формул:
для формул прямоугольников и трапеций 
;
для формулы Симпсона (составной) 
.
Замечание. Формула Симпсона не всегда будет давать более точный интеграл, чем формула трапеций (
, 
).
§ 3. О компьютерном решении задачи (1), (2), (3).
Система Mathematica может мгновенно вычислить интеграл (3):
Внутри программы реализуется один их методов численного интегрирования. Нас интересует такая организация вычислений, которая позволяла бы осуществлять контроль точности. Общая схема будет выглядеть следующим образом.
, 
является точкой максимума 
.
, 
, 
можно рассматривать как собственный интеграл, единственная проблема в том, что 
не определена, однако 
. Поэтому можно вычислить по квадратурной формуле, не содержащей 
, т. е. , например, формулам средних или правых прямоугольников. Контроль точности осуществляется следующим образом. Берем некоторое , вычисляем приближенное значение интеграла 
. Затем удваиваем , вычисляем 
. Если 
, вычисления прекращаем и считаем 
, в противном случае снова удваиваем .
является несобственным. Для его вычисления предлагаем 2 подхода.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 |
