1) заранее определить количество узлов 
квадратурной формулы, исходя из величины 
и оценки погрешности соответствующей квадратурной формулы. Для этого потребуется вычислить 
или 
и ее 
. Затем вычислить приближенное значение 
как собственный интеграл от 
до некоторого 
, используя найденное . После этого увеличиваем и вычисляем 
от до нового с тем же . Вычисления прекращаем, если 
, в противном случае снова увеличиваем и т. д.
2) заранее определить достаточно большой верхний предел интегрирования . Это можно сделать, например, следующим образом: поставить требование 
. Затем вычислить 
как собственный интеграл на отрезке 
по аналогии с вычислением 
, для контроля точности увеличивая .
Все вышесказанное относится, в первую очередь, к Excel, где целесообразно будет воспользоваться процедурами VBA. Что касается пакета Mathematica, там не надо слишком заботиться об , b b и т. д., ибо функция Integrate уже включает в себя вычисление интеграла по квадратурной формуле с некоторой точностью. В [2] имеется программа системы Mathematica, не содержащая циклов. Ее необходимо уточнить (оформить цикл).
Глава IV
Решение обыкновенных дифференциальных уравнений и
систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
§ 1. Некоторые сведения о дифференциальных уравнениях химических процессов (уравнениях кинетики, кинетических уравнениях).
Основной закон химической кинетики: скорость реакции в каждый момент времени пропорциональна произведению концентраций реагирующих веществ, возведенных в соответствующие степени.
Пусть стехиометрическое уравнение реакции записано в виде
(1)
где 
– 
-тое исходное вещество, 
– 
-тый продукт, 
– коэффициенты. В случае одностадийной реакции кинетическое уравнение имеет вид
(2)
– константа скорости, 
– порядок реакции, 
– скорость реакции.
Если рассматриваемая реакция обратимая, то ее кинетическое уравнение принимает вид
(3)
Простейшие примеры.
1) Радиоактивный распад.
Скорость распада радиоактивного вещества пропорциональна его количеству – реакция первого порядка. Пусть 
– число атомов радиоактивного вещества, 
– время, – константа распада. Тогда
(4)
Задача: найти время, за которое концентрация уменьшится вдвое.
Решение. Задача Коши для уравнения (4) с начальным условием 
имеет решение 
. Отсюда искомое время 
удовлетворяет соотношению 
, откуда следует, что 
.
2) Коагуляция – процесс осаждения коллоида.
Ее можно рассматривать как реакцию второго порядка
(5)
где 
– концентрация золя, – константа, характеризующая вероятность столкновения частиц.
3) Определение порядка реакции в случае, когда в ней принимает участие одно вещество.
Кинетическое уравнение
(5)
где 
– концентрация вещества 
, – время, – константа скорости реакции, – неизвестный порядок реакции.
Задача: Пусть дано уравнение (6) и начальное условие 
. Найти .
Решение. Введем переменную 
: 
. Тогда (6) примет вид
или 
(7)
где 
, 
, 
.
В результате интегрирования получим
(8)
Выделим два момента времени и 
, найдем 
и 
. Подставим в (8): 
; 
откуда следует, что 
. Выберем и так, чтобы выполнялось 
. Тогда 
, откуда 
.
В дальнейшем будем рассматривать химические реакции, протекающие в замкнутой системе, для которых концентрации исходных веществ и продуктов реакции связаны соотношениями 
. Обозначим исходные концентрации через 
и 
и проинтегрируем данное соотношение. Получим 
. Последнее соотношение можно обозначить через переменную 
:
(9)
§ 2. Математические модели некоторых химических процессов.
Необратимые реакции первого порядка.
Задача 1. Некоторое вещество , концентрация которого в момент 
равна 
, подвергается превращению в процессе необратимой реакции первого порядка при постоянных условиях. Требуется получить уравнение кинетической линии и найти константу скорости реакции.
Решение. 
. Кинетическое уравнение: 
, 
, 
, 
.
Для нахождения 
выбираем экспериментальные точки 
, находят по формуле 
, в качестве берут среднее арифметическое значение.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 |
