Теория надежности Методические указания по изучению дисциплины (стр. 3 )

Наработка до отказа как непрерывная случайная величина.

Общие зависимости, устанавливающие связь между показателями надежно­сти.

Математические модели наработки до отказа объектов авиационной техники.

Определение показателей надежности по заданным законам распределения наработок до отказа.

Характер изменения основных показателей надежности для различных зако­нов распределения наработок до отказа.

Отказ - событие случайное. Поэтому математической базой теории надежно­сти является теория вероятностей.

Одним из основных понятий теории вероятностей является событие, которое может быть закономерным или случайным.

Закономерное событие - это событие, которое всегда происходит, как только создаются определенные условия. Закономерное явление - это система законо­мерных событий.

Случайное событие - это исход какого-либо испытания (опыта, наблюдения), которое может произойти (наступить, осуществиться) или не произойти (не на­ступить, не осуществиться) в одних и тех же условиях.

Случайные события подчиняются некоторым закономерностям, называемым вероятностными.

Одна из фундаментальных закономерностей случайных событий состоит в устойчивости относительных частот при достаточно большом числе испытаний.

Суть этого свойства состоит в следующем. Пусть при повторении некоторых условий n раз случайное событие А осуществляется m раз. Число m называют частотой события А. В нескольких достаточно больших сериях n1,n2,….,nk на­блюдений события А в одних и тех же условиях сохраняется следующее при­ближенное равенство:

m1/n1 = m2/n2= … mk/nk.

Таким образом, относительная частота события А колеблется около одного и того же числа, которое характеризует данное событие. Это число P(А) называют вероятностью события А.

Устойчивость относительных частот – это объективное свойство массовых случайных явлений реального мира. Отсутствие устойчивости относительных частот в различных сериях испытаний свидетельствует о том, что условия, при которых производятся испытания, изменились.

Событием, в частности, может быть получение конкретного значения случай­ной величины.

В дальнейшем будем рассматривать случайные величины двух типов: дис­кретные и непрерывные.

Случайная величина называется дискретной, если она может принимать толь­ко конечное или счетное множество значений.

Непрерывная случайная величина может принимать любое значение из обла­сти ее задания.

Наиболее полной характеристикой случайной величины является закон рас­пределения.

Закон распределения случайной величины есть правило для определения со­вокупности возможных значений этой величины и вероятностей, с которыми эти значения могут появляться.

Для дискретных случайных величин закон распределения может быть пред­ставлен таблицей, графиком, функцией распределения и т. д.

Если известна функция распределения наработки до отказа, то легко опреде­ляется средняя наработка до отказа, интенсивность отказов, вероятность без­отказной работы и т. д.

Известно большое количество видов законов распределения случайных ве­личин. Однако для оценки надежности большинства объектов авиационной тех­ники можно ограничиться сравнительно небольшим числом законов распреде­ления: биномиальным, Пуассона - для дискретных случайных величин; экспо­ненциальным, нормальным, Вейбулла и гамма - распределения - для непрерыв­ных случайных величин.

Главное при их изучении четко определить те физические процессы, которые обуславливают вид закона распределения.

Биномиальное распределение даёт возможность определить вероятность заданного числа отказов (событий) k при выполнении n независимых ис­пытаний (например, полётов) при этом вероятность отказа(события) P постоян­на:

.

Здесь p+q=1.

При больших значениях n и P<0,01 можно пользоваться распределением Пуассона:

, где a=np.

Физическому смыслу изучаемых явлений и закономерностям всегда следует уделять первостепенное значение. Так, безупречно должен быть усвоен физиче­ский смысл функции распределения и плотности распределения случайных ве­личин.

Функцией распределения вероятностей случайной величины называется функция, значение которой равно вероятности того, что случайная величина примет значение меньшее аргумента:

.

Заметим, что понятие функции распределения можно распространить и на дискретные величины, причем функция распределения в этом случае будет сту­пенчатой.

Знание законов распределения наработки объектов до отказа имеет большое значение для теории и практики обеспечения надежности изделий.

Закон распределения является наиболее полной характеристикой случайной величины, если он известен, то о данной величине известно все.

Закон распределения позволяет определить и прогнозировать надёжность из­делия как на этапах проектирования, испытания, так и в процессе эксплуатации.

Знание законов распределения дает возможность обоснованно назначать меж­ремонтные и общетехнические ресурсы, определять необходимый резерв запас­ных частей, разрабатывать стратегию закупки новых объектов, строительства ремонтных предприятий, рассчитывать мощность ремонтной базы и т. д.

Определение законов распределения часто сопряжено со значительными трудностями и со значительными материальными затратами.

Отметим, что закон распределения случайной величины не является случай­ным, так же как и все ее характеристики. Все они определяются физической природой данной случайной величины, объективным отражением реальной действительности. Поэтому теоретически всегда есть возможность на основе изучения физической сущности случайной величины установить все законы распределения.

Однако, практически, без привлечения экспериментальных данных это редко удается сделать.

Рассмотрим наиболее употребительные законы распределения наработки из­делия до отказа.

Экспоненциальный закон распределения описывает время наработки до отка­за в период нормальной эксплуатации. Все дефекты изготовления изделия выяв­лены, а отказы, обусловленные износом и старением материала, еще не прояв­ляются. Отказы в период нормальной эксплуатации в основном обусловлены стечением неблагоприятных обстоятельств, ошибками в управлении. Все эти факторы не зависят от времени, поэтому интенсивность отказов на этом этапе эксплуатации не изменяется во времени.

Функция распределения вероятностей наработок до отказа:

F(t)=1-e-лt.

Плотность распределения вероятностей наработок до отказа:

f(t)=лe-лt.

Вероятность безотказной работы:

P(t)=e-лt.

Средняя наработка до отказа:

T=1/л.

Дисперсия средней наработки до отказа:

у2=1/л2.

Среднеквадратичное отклонение средней наработки до отказа:

у=1/л.

Нормальное распределение. Нормальное распределение занимает особое ме­сто как в теории вероятностей, так и в теории надежности.

Это распределение является предельным, к нему стремятся многие другие распределения при увеличении числа испытаний. Например, биномиальное, Пирсона и т. д.

Можно показать, что сумма большого числа независимых (слабо зависимых) случайных величин, подчиненных каким угодно законам распределения, при­ближённо описывается нормальным законом распределения, причем тем точнее, чем большее количество случайных величин суммируется.

Основное ограничение, налагаемое на суммирование случайных величин, со­стоит в том, что все величины должны играть в общей сумме относительно ма­лую роль. Если это условие не выполняется и одна из случайных величин резко превалирует в сумме над всеми другими, то это оказывает решающее влияние на сумму и определяет в основном закон распределения.

Нормальный закон распределения используется для исследования отказов, возникающих вследствие механического и эрозионного износа, имеющего при­мерно постоянную скорость развития.

Это распределение двухпараметрическое, параметрами являются T - матема­тическое ожидание и у - среднеквадратическое отклонение (или дисперсия).

Однако в таком виде для исследования наработок до отказа это соотношение использоваться не может, т. к. время не может быть отрицательным. В теории надежности ограничивают диапазон изменения аргумента путём введения нор­мирующего множителя c, величина которого зависит от коэффициента вариа­ции и составляет:

T/СКО  1  2  3  4

C  1,189  1,023  1,0014  1,00003.

Отсюда следует, что в большинстве случаев его можно не учитывать. Таким образом, для усечённого нормального распределения аргумент (время) изменя­ется от нуля до бесконечности.

Функция распределения вероятностей наработок до отказа:

.

Плотность распределения вероятностей наработок до отказа:

.

Для вычисления интеграла в функции распределения часто используют та­блицы. Удовлетворительные результаты дают вычисления по аппроксимацион­ной формуле:

F(z)=1-0,65exp(-0,47(0,75+z))2, где z обычная подстановка .

При этом, если z=0, то F(z)=0. Формула справедлива для z>0, для отрицатель­ных z нужно использовать соотношение F(-z)=1-F(z). Окончательно имеем F(t)=cF(z).

Распределение Вейбулла.  В теории надежности распределение Вейбулла по­лучило очень широкое распространение. Это распределение иногда называют моделью слабейшего звена. В соответствии с этой моделью каждый объект счи­тается состоящим из нескольких последовательных звеньев. Время безотказной работы в этом случае определяется отказом первого слабейшего звена.