Теория надежности Методические указания по изучению дисциплины (стр. 5 )

Поскольку в большинстве случаев определение показателей надежности производится по эксплуатационным испытаниям, т. е. на основе статистической информации, полученной в условиях эксплуатации, рассмотрим особенности этой информации.

В этом случае задача, практически, всегда решается на основе выборочной совокупности, а, следовательно, всегда возникает вопрос о представительности выборки и достаточности ее объема.

Существенным обстоятельством является и тот факт, что в условиях эксплуа­тации нет возможности выбора плана испытаний, поскольку единственно воз­можным является план NRT, при котором под наблюдением находятся N изде­лий, отказавшие заменяются новыми, наблюдение ведется в течение времени Т.  Этот параметр может означать как время наблюдения, так и наработку.

Однако в условиях эксплуатации организовать наблюдение до заданной нара­ботки, что желательно, весьма затруднительно.

Это обусловлено значительной переменностью парка наблюдаемых объектов (ремонт, списание по выработке ресурса, поступление новых объектов и т. д.) и существенной неравномерностью наработки (например, налёта). Поэтому нара­ботка однотипных объектов, находящихся под наблюдением, за один и тот же календарный период существенно отличается.

Кроме того, нередко объекты приходится считать невосстанавливаемыми, т. е. наблюдение ведется до первого отказа.

Следующей особенностью эксплуатационной информации является то, что выборка содержит наработки, при которых как наступил отказ, так и наработки объектов, отказ которых не наступил. Такие выборки называются усеченными (неполными, цензурированными).

Причиной получения усеченных выборок является замена изделий в связи с выработкой ресурса и перестановкой.

При обработке цензурированных выборок возникают очевидные сложности. Так, если для определения функции распределения использовать обычные мето­ды, рассматривая выборку как полную (исключить неполные выработки или считать их полными), то при расчетах показателей надежности будут допущены существенные ошибки.

Существуют разные методы решения этой задачи. Наиболее часто поступают следующим образом. Определяют две функции распределения по результатам обработки полных и неполных наработок.

Получают функцию распределения наработок при условии, что отказ насту­пил, и функцию распределения продолжительности наблюдения при условии, что изделие не отказало.

Статистическая информация об отказах объектов авиационной техники имеет характерную особенность. Дело в том, что авиационная техника отличается вы­сокой надёжностью, отказ - событие редкое, поэтому получаются выборки не только усеченные, но и малого объёма.

Увеличение объема выборки возможно либо за счет увеличения числа объек­тов, находящихся под наблюдением, либо за счет увеличения периода наблюде­ния.

Первый вариант чаще всего не возможен, т. к. число объектов строго опреде­лено. Второй вариант тоже не приемлем, т. к. при длительном наблюдении свой­ства изучаемых объектов могут изменяться, что приводит к ошибкам в опреде­ление показателей надёжности.

Строгого деления выборок на малые и большие нет, поэтому всякое деление весьма условно. Обычно к малым относят выборки, содержащие менее 40...50 наблюдений. Обработка малого числа наблюдений является весьма сложной, не решенной до конца даже в теоретическом плане задачей.

Существует много методов обработки малого числа наблюдений, но большинство из них не обеспечивает требуемой достоверности и точности.

Строго говоря, следуя идеям теории вероятностей, по небольшому числу на­блюдений нельзя делать каких-либо заключений о свойствах случайной величи­ны: какие бы совершенные методы при этом не использовались, получить до­стоверные данные не возможно.

Выход из этого положения в следующем. На основе тщательного анализа фи­зической сущности явления можно априорно сделать обоснованное заключение о виде функции распределения. Тогда параметры выбранного закона распреде­ления с достаточной точностью могут быть определены и по данным малой вы­борки.

Например, установлено, что отказы возникают вследствие стечения неблаго­приятных факторов и не связаны с износом и старением материала. В этом слу­чае есть основание полагать, что наработки до отказа распределены по экспо­ненте.

Возможен и иной подход. Делается предположение, что данная выборка при­надлежит некоторой генеральной совокупности, о которой исследователь распо­лагает необходимой информацией.

Наконец, возможно объединение малых выборок в одну большего объема. При этом возникает необходимость анализа однородности выборок. Естествен­но, что объединение выборок возможно, если они принадлежат одной генераль­ной совокупности и имеют, следовательно, одинаковые значения всех характе­ристик надежности.

Статистические выборки, принадлежащие одной генеральной совокупности, называются однородными. Совместная обработка возможна только однородных выборок. Опыт показывает, что статистическая информация, относящаяся к од­ной и той же совокупности однотипных объектов, не всегда бывает однородной.

Можно выделить следующие основные причины неоднородности однотип­ных объектов:

- значительные отличия условной эксплуатации;

- различное количество и качество ремонтов;

- различные годы выпуска объектов;

- объекты различных заводов-изготовителей.

Поэтому при обработке статистической информации с целью определения показателей надежности всегда необходима оценка однородности выборки.

Для решения этой и ряда других задач в теории надежности применяются статистические критерии. Статистические критерии бывают двух типов: пара­метрические (используются параметры закона распределения) и непараметри­ческие (не используются параметры закона распределения). В практике наи­большее распространение получили непараметрические критерии.

Смысл этих критериев состоит в следующем. Имеется независимая выборка, относительно которой необходимо проверить гипотезу: принадлежность к гене­ральной совокупности, соответствие теоретического и статистического распре­делений. Эту гипотезу назовем основной или нулевой. Относительно конкурирующей гипотезы, кроме независимости выборки, никаких предполо­жений не делается.

Далее поступают следующим образом.

Строится некоторая функция от выборки. Любая функция от выборки называ­ется статистикой.

Статистика должна удовлетворять следующим условиям: известно  распреде­ление статистики при справедливости основной гипотезы (точно или асимпто­тически ); статистика, как правило, положительна; при любой конкурирующей гипотезе значение статистики возрастает.

Задается доверительная вероятность (вероятность отклонения основной гипо­тезы при условии, что она верна). Основная гипотеза принимается, если стати­стика меньше соответствующего теоретического параметра при заданном уров­не значимости (определяется из таблиц).

Таким образом, в частности, может оцениваться однородность выборки (вы­борок).

Для оценки однородности выборок используются критерии Пирсона, Колмо­горова, Вилкоксона.

Необходимо четко выяснить условия применения статистических критериев.

Так, критерий Пирсона может использоваться для больших выборок, и долж­на быть известна функция распределения, критерии Колмогорова и Вилкоксона используются для анализа двух выборок. Если не известна функция распределе­ния то, практически, единственным методом оценки однородности более двух выборок является дисперсионный анализ.

Дальнейшая обработка статистической информации состоит из следующих этапов:

- выбор вида распределения и определение оценок его параметров;

- оценка близости теоретического и статистического распределений. Выбор вида функции распределения является наиболее ответственным этапом анализа надежности.

Эта процедура не поддается формализации.

При выборе гипотезы проводится тщательный анализ физического существа исследуемого явления (процесса), при этом необходимо наиболее полно учиты­вать процессы, протекающие в изделии при его работе.

Весьма полезным может быть изучение опыта эксплуатации и результатов оценки надежности аналогичных или однотипных изделий, даже работающих в других условиях. В любом случае выполняется тщательный анализ накопленно­го статистического материала.

Полезным бывает анализ гистограмм, по которым иногда удается сделать правдоподобное заключение о виде закона распределения. Может оказаться по­лезной информация о характере изменения по интервалам разбиения вариаци­онного ряда интенсивности отказов, плотности распределения и безотказности.

Все эти соображения в большинстве случаев дают возможность принять ги­потезу о виде функции распределения. Если этого сделать не удается, остается последний вариант - метод подбора.

После выбора вида функции распределения выполняется оценка параметров функции распределения.

Оценка должна быть несмещенной, состоятельной и эффективной.

Несмещенной называют оценку, математическое ожидание которой совпадает с оцениваемым параметром. Оценка параметра называется состоятельной, если при увеличении числа наблюдений до бесконечности оценка сходится к оцени­ваемому параметру по вероятности.

Эффективные оценки обладают наименьшей дисперсией. Эффективна та оценка, дисперсия которой меньше.

Используются различные методы нахождения оценок: максимального  прав­доподобия, моментов, квантилей, разделяющих разбиений, графические и т. д.

Наибольшее распространение получил метод максимального правдоподобия. Этот метод дает состоятельные несмещенные оценки и для цензурированных выборок. Однако метод максимального правдоподобия обеспечивает несмещен­ность оценок только для выборок большого объема (N>100) и при не очень большой доле неполных наработок в общем объеме наблюдений (не более 85%).

Заключительной операцией является проверка степени согласия статистиче­ского распределения с теоретическим. Необходимо оценить, насколько точно выбранное теоретическое распределение с данными оценками его параметров описывает статистический материал.