Методические рекомендации к практическим занятиям по дисциплине «Математическое и имитационное моделирование» для студентов специальности «Прикладная информатика (в менеджменте)» (стр. 6 )

Задача 3. Совхоз отвел три земельных массива размером 5000, 8000, 9000 га на посевы ржи, пшеницы, кукурузы. Средняя урожайность в центнерах на 1 га по массивам указана в следующей таблице:

Посевы	Массивы
1	II	III
Рожь	15	14	15
Пшеница	14	14	22
Кукуруза	30	35	25

За 1 ц. ржи совхоз получает 2 д. е., за 1 ц. пшеницы - 2,8 д. е., за 1 ц. кукурузы - 1,4 д. е.

Сколько гектаров и на каких массивах совхоз должен отвести на каждую культуру, чтобы получить максимальную выручку, если по плану он обязан сдать не менее 1900 т ржи, 158000 т пшеницы и 30000 т кукурузы?

Практическое занятие «Моделирование числа Пи методом Монте-Карло»

Цель занятия: научиться моделировать случайные величины методом Монте-Карло на примере моделирования числа Пи.

Метод Монте-Карло

Методы Монте-Карло - это общее название группы методов для решения различных задач с помощью случайных последовательностей. Эти методы (как и вся теория вероятностей) выросли из попыток людей улучшить свои шансы в азартных играх. Этим объясняется и тот факт, что название этой группе методов дал город Монте-Карло - столица европейского игорного бизнеса (казино), где играют в рулетку - одно из простейших устройств для получения случайных чисел, на использовании которых основан этот метод.

Создателями метода статистических испытаний (метода Монте-Карло) считают американских математиков Д. Неймана и С. Улама. В 1944 году, в связи с работами по созданию атомной бомбы Нейман предложил широко использовать аппарат теории вероятностей для решения прикладных задач с помощью ЭВМ.

К разделам науки, где все в большей мере используется метод Монте-Карло, следует отнести задачи теории массового обслуживания, задачи теории игр и математической экономики, задачи теории передачи сообщений при наличии помех и ряд других.

Задача метода Монте-Карло после получения ряда реализаций интересующей нас случайной величины заключается в получении некоторых сведений о ее распределении, т. е. является типичной задачей математической статистики.

Итак, сущность метода Монте-Карло состоит в следующем: требуется найти значение а некоторой изучаемой величины. Для этого выбирают такую случайную величину X, математическое ожидание которой равно а:

М(Х)=A.

Практически же поступают так: производят N испытаний, в результате которых получают N возможных значений X, вычисляют их среднее арифметическое и принимают его в качестве оценки (приближенного значения) A' искомого числа A.

Отыскание возможных значений случайной величины Х (моделирование) называют «разыгрыванием случайной величины».

Моделирование числа Пи

Существует много способов вычисления числа Пи. Самым простым и понятным является численный метод Монте-Карло, суть которого сводится к простейшему перебору точек на площади. Суть расчета заключается в том, то мы берем квадрат со стороной a = 2R, вписываем в него круг радиусом R. И начинаем наугад ставить точки внутри квадрата.

Геометрически, вероятность P1 того, что точка попадет в круг, равна отношению площадей круга и квадрата:

P1=Sкруг/Sквадрата = рR2/a2 = рR2/(2R)2=рR2/(2R)2 = р/4

Вероятность попадания точки в круг можно также посчитать после численного эксперимента ещё проще: посчитать количество точек, попавших в круг, и поделить их на общее количество поставленных точек:

P2=Nпопавших в круг / Nточек;

Так, при большом количестве точек в численном эксперименте вероятности должны вести себя cледующим образом:

lim(Nточек→∞)(P2-P1)=0;

Следовательно:

р/4 = Nпопавших в круг/Nточек;

р =4 Nпопавших в круг/Nточек;

Задание выполняется на одном из языков программирования (Delphi, С++). Напишите программу, выполняющую моделирование числа π.

Практическое занятие «Моделирование случайной величины»

Цель занятия: научиться моделировать непрерывные и дискретные случайные величины с помощью языков программирования.

Моделирование случайных событий

Одним из основных понятий теории вероятностей является понятие случайной величины. Для того чтобы знать случайную величину необходимо знать те значения, которые она может принимать. Однако одного перечня значений случайной величины еще недостаточно, чтобы по ним можно было делать какие-либо существенные выводы. Для задания случайной величины необходимо знать не только, какие значения может она принимать, но и как часто, т. е. с какой вероятностью она принимает эти значения. Для этого вводится понятие функции распределения случайной величины.

Пусть о – случайная величина и x – произвольное действительное число. Вероятность того, что  о примет значение, меньшее чем x, называется функцией распределения вероятностей случайной величины о:

F(x) = P (о<x)

Случайная величина о называется непрерывной, если множество ее возможных значений несчетно и существует такая неотрицательная функция f(x), x  €  R, что при  - ∞ ≤ a < b  ≤ ∞  вероятность

P (a ≤ о <b) =

Функция f(x) называется плотностью распределения вероятностей для случайной величины о.

Для моделирования случайной величины о с заданным законом распределения F(x) = P (о<x) применяется функционально преобразование случайной величины с равномерным законом распределения (0,1).

Использование языков программирования для моделирования случайной величины

Задание выполняется на одном из языков программирования (Delphi, С++). Необходимо написать программу, выполняющую моделирование случайной величины.

На основе плотности вероятности случайной величины в программе сформировать значения случайной величины. Выполнить сортировку значений и вывести на форму.

Рассчитать статистические характеристики случайной величины: математические ожидание, дисперсию, выборочное среднее, выборочную дисперсию, выборочную медиану, размах выборки. Эти значения вывести на форму.

Вычислить теоретическую и выборочную функции распределения и построить их графики. Вычислить максимальное расхождение теоретической и выборочной функций распределения.

Построить гистограмму непрерывной случайной величины. Исходными данными являются количество отрезков, на которые разбивается диапазон значений случайной величины и массив, содержащий левые и правые концы отрезков. В программе определить количество значений случайной величины, попавших в указанный диапазон. По этим значениям построить гистограмма (эмпирическая плотность вероятностей).

Вывести значения теоретической и эмпирической плотности распределения вероятности в серединах отрезков. Вычислить максимальную разность значений теоретической и эмпирической плотности распределения вероятности.

Осуществить проверку гипотезы о виде распределения. Предположение о распределении, которому подчиняются выборочные значения, называется гипотезой. Проверяемая гипотеза называется нулевой гипотезой.

Для проверки согласования данных с распределением F(x) используйте критерий χ2.

Исходными данными являются количество отрезков, на которые разбивается диапазон значений случайной величины и массив, содержащий левые и правые концы отрезков. Также вводится уровень значимости.

R0 =

Величина R0  характеризует меру расхождения между наблюдавшимися частотами и ожидаемым числом попаданий в интервал при нулевой гипотезе.

Результатом работы этой части программы должна быть таблица со значениями qj  и величина  F(R0). В зависимости от  F(R0) принимается решение о принятии или отвержении гипотезы.

Задания для самостоятельной работы

Задача 1. Передаётся n сообщений по каналу связи. Каждое сообщение с вероятностью p независимо от других искажается. С. в. η — число иска­жённых сообщений.

Задача 2. При каждом цикле обзора радиолокатора объект (независимо от других циклов) обнаруживается с вероятностью p. С. в. η — число циклов обзора до обнаружения объекта.

Задача 3. ЭВМ генерирует последовательность чисел до получения некоторого заданного числа. Вероятность генерации этого числа на каждом шаге независимо от других шагов равна p. С. в. η — число элементов полученной последовательности.

Задача 4. В лотерее среди N билетов M выигрышных. Игрок покупает r билетов. С. в. η — число выигрышных билетов среди купленных.

Задача 5. На автоматическую телефонную станцию поступает поток вызовов с интенсивностью λ. С. в. η — число вызовов за t минут, имеет распре­деление Пуассона со средним λt.

Задача 6. С. в. η — время обслуживания покупателя в кассе магазина. Пусть η распределена показательно с параметром λ.

Задача 7. В очереди к кассе стоят N >> 1 человек. Сумма, которую нужно заплатить отдельному лицу, есть случайная величина со средним m и дисперсией d. Вид плотности распределения выбрать по аналогии с приведёнными на рисунках.

С. в. η — общая сумма сумма выплат.

Задача 8. Скорость соударения молекул — случайная величина, распределённая по закону Релея с параметром σ:

Задача 9. Каждому из трёх стрелков предоставляется возможность поразить цель с r выстрелов. Вероятность попадания в мишень для этих стрелков при j-м выстреле равна pjk. При поражении мишени стрелком следующие выстрелы не производятся. С. в. η — общее число произведённых выстрелов.

Задача 10. Два баскетболиста поочерёдно бросают мяч в корзину до первого попадания одним из баскетболистов. Вероятнось попадания при каждом броске для первого баскетболиста равна p1, для второго — p2. С. в. η — число бросков, произведённых вторым (по очереди) баскетболистом.