Методические рекомендации к практическим занятиям по дисциплине «Математическое и имитационное моделирование» для студентов специальности «Прикладная информатика (в менеджменте)» (стр. 1 )

Министерство образования и науки РФ

ФГБОУ ВПО «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

к. р. Круподерова

МАТЕМАтическое и имиТационное моделирование

Методические рекомендации к практическим занятиям по дисциплине «Математическое и имитационное моделирование» для студентов специальности «Прикладная информатика (в менеджменте)»

Нижний Новгород

2012

ББК – 32.973 – 018.2

К – 84

Круподерова и имитационное моделирование: Методические рекомендации к практическим занятиям по дисциплине «Математическое и имитационное моделирование» для студентов специальности «Прикладная информатика (в менеджменте)» – Н. Новгород: Изд-во НГПУ, 2014. – 43 с.

Методические рекомендации предназначены для студентов специальности 230700.62 «Прикладная информатика (в менеджменте)». Приведены краткие теоретические сведения, задания для практических занятий. Методические рекомендации могут быть использованы студентами других специальностей в курсе «Математическое и имитационное моделирование».

  © , 2014

  © НГПУ, 2014

Практическое занятие «Дескриптивные модели»

Цель занятия: научиться строить и исследовать простейшие математические модели с применением аппарата дифференциальных уравнений.

Дескриптивные модели

Дескриптивные модели (их часто называют моделями без управления) разрабатываются для описания реально существующих процессов, объектов без вмешательства в них. Они создаются для принятия различных управленческих решений, но в самой модели не предусматривается выбор количественно обоснованного решения с позиции какого-то определенного критерия эффективности. Дескриптивные модели используют для прогнозирования различных социальных явлений (например, преступности). Они обычно отвечают на вопросы: как будет, как есть сейчас; дают общее представление о системе, объекте и применяются для изучения только самых общих изменений и тенденций.

Для описания развития во времени неравномерно протекающих процсов используют аппарат дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения – уравнения, содержащие как сами функции, так и производные от них.

– обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Для отыскания решения этого уравнения необходимо разделить переменные, т. е. переписать уравнение следую щим образом: , в предположении, что в рассматриваемой области . Последнее уравнение (с разделенными переменными) решают интегрированием обеих частей уравнения.

Пример (Закон размножения бактерий с течением времени). Скорость размножения бактерий пропорциональна количеству бактерий в данный момент. Найти зависимость изменения количества бактерий от времени.

Решение. Обозначим количество бактерий, имеющихся в данный момент, через x. Тогда:

,

где k – коэффициент пропорциональности.

В полученном уравнении разделим переменные и проинтегрируем его:

Потенцируем последнее выражение:

Полагая, что при t = 0 x = x0, получим C = x0. Следовательно:

Полученное уравнение выражает закон размножения бактерий с течением времени. Таким образом, при благоприятных условиях количество бактерий с течением времени возрастает по экспоненциальному закону.

Задачи для самостоятельной работы

Задача 1. (Закон роста клеток с течением времени). Для палочковидных клеток, у которых отношение поверхности клетки к ее объему сохраняется постоянным, скорость роста клетки пропорциональна длине клетки l в данный момент. Найти зависимость изменения количества палочковидных клеток от времени, если (α–β) – коэффициент пропорциональности, α и β – постоянные, характеризуюшие процессы синтеза и распада.

Задача 2 (Задача из теории эпидемий). Пусть изучаемое заболевание носит длительный характер. При ним процесс передачи инфекции значительно более быстрый, чем течение самой болезни, и зараженные особи (а) не удаляются из колонии и передают при встречах инфекцию незараженным (b) особям. Число незараженных у(t) особей убывает с течением времени пропорционально (β) количеству встреч между зараженными x(t) и незараженными особями у(t). Найти закон убывания числа незараженных особей с течением времени.

Задача 3 (Динамика популяций). Некоторая популяция (сообщество особей одного вида) имеет в момент времени t0 биомассу x0. В каждый момент времени скорость увеличения биомассы пропорциональна уже имеющейся биомассе, а возникающие явления самоотравления снижают биомассу пропорционально квадрату наличной биомассы. Определить численность биомассы в момент T.

Задача 4 (Модель Вольтерра-Лотки). Составить модель динамической системы «хищник-жертва» и исследовать состояние этой системы.

Практическое занятие «Решение задач линейного программирования графическим методом»

Цели занятия: научиться строить математические модели задач линейного программирования и использовать графический метод для нахождения оптимального решения.

Линейное программирование (графический метод)

Линейное программирование возникло в связи с рассмотрением вопросов о нахождении наилучших вариантов при решении различных планово - производственных задач. В этих задачах имеется большая свобода изменения различных параметров и ряд ограничивающих условий. Требуется найти такие значения параметров, которые с некоторой точки зрения были бы наилучшими. К таким задачам относятся задачи нахождения наиболее рационального способа использования сырья и материалов, определения наилучших производственных режимов, повышения эффективности работы транспорта и т. д.

Линейное программирование представляет собой метод, дающий возможность решать управленческие задачи, в которых лицо, принимающее решение, должно оптимально распределить ограниченные ресурсы (денежные средства, работников, оборудование, время и т. п.) между различными направлениями их использования для достижения поставленной цели. Целый ряд задач из сферы планирования и управления может быть сформулирован в виде задач линейного программирования.

Задачи, решаемые методами линейного программирования, называются оптимизационными задачами; в них требуется найти экстремальное значение некоторой функции при заданных ограничениях. Эту функцию принято называть целевой функцией. Решение задачи называется оптимальным, если оно дает минимальное или максимальное значение целевой функции.

Стандартная задача линейного программирования записывается в виде:

В случае если размерность задачи равна 2, она может быть решена чисто геометрически. Для этого на плоскости переменных х1 и х2 строится область допустимых (согласно ограничениям на ресурсы комбинаций) значений (х1 и х2) и далее находится такая прямая:

F=C1x1+C2x2,

(при заданных значениях C1 и C2), которая касается контура допустимой области в точке или по ребру и дает максимальное значение F. Соответствующая комбинация чисел x1 и х2 и будет решением задачи.

Алгоритм графического метода решения задач линейного программирования состоит в следующем:

Найти вершины области допустимых решений как точки пересечения ограничений. Определить последовательно значения целевой функции в вершинах. Вершина, в которой целевая функция приобретает оптимальное (max или min) значение, является оптимальной вершиной. Координаты оптимальной вершины есть оптимальные значения искомых переменных.

Пример 1. Фирма выпускает два вида мороженого: сливочное и шоколад­ное. Для изготовления мороженого используются два исходных продукта мо­локо и наполнители, расходы которых на 1 кг мороженого и суточные запасы даны в табл. 1.

Таблица 1.

Исходный продукт	Расход исходных продуктов На 1 кг мороженого	Запас, кг
Сливочное	Шоколадное
Молоко	0,8	0,5	400
Наполнители	0,4	0,8	365

Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на сливочное мороженое превышает спрос на шоколадное не более чем на 100 кг. Кроме того, установлено, что спрос на шоколадное мороженое не превышает 350 кг в сутки. Розничная цена 1 кг сливочного мороженого 15 руб., шоколадного – 14 руб.

Какое количество мороженного каждого вида должна производить фирма, чтобы доход от реализации продукции был максимальным?

Решение. Составим экономико-математическую модель задачи. Обозначим: х1 - суточный объем выпуска сливочного мороженого, кг; х2 - суточный объем выпуска шоколадного мороженого, кг. Составим математическую модель задачи. Целевая функция будет иметь вид: