Метод опорных объектов для обучения распознаванию образов в произвольных метрических пространствах. Федеральное государственное бюджетное учреждение науки (стр. 12 )

Множество всех векторов псевдоевклидова пространства (46), являющихся аффинными комбинациями элементов образа исходного метрического пространства (42), будем называть аффинным образом метрического пространства и обозначать символом

       .        

Частный случай пред-евклидовой метрики: Погружение метрического пространства объектов реального мира в непрерывное метрическое пространство с аффинными операциями

Если исходная метрика является пред-евклидовой в смысле (23), то в силу теоремы 3 сигнатура исходного метрического пространства равна , (32), и линейное пространство , в которое погружается , является обычным евклидовым линейным пространством вместо псевдоевклидового в общем случае.

Теперь всякой совокупности реальных объектов с выбранным центральным элементом и коэффициентов соответствует аффинная комбинация в обычном евклидовом линейном пространстве (46), для которой определены обычные метрические расстояния до образов всех реальных объектов (47). Этот факт устанавливает следующая теорема.

Теорема 5. В случае пред-евклидовой метрики (23) для всякой совокупности объектов , , и коэффициентов аффинная комбинация (46)-(47) удовлетворяет неравенству

       .        

Вектор является единственным в евклидовом линейном пространстве .

Доказательство теоремы, основанное на непосредственном применении неравенства (23) к совокупности объектов с коэффициентами , , приведено в приложении 5.5.

Как следствие, для вектора , являющегося аффинной комбинацией векторов с коэффициентами , можно вообразить существование прообраза в некотором расширении метрического пространства , мысленно добавив в него соответствующий элемент , поскольку для него определены метрические расстояния до всех других элементов .

В нашей предыдущей статье [16] такой элемент , не зависящий от выбора центрального элемента , назван аффинной комбинацией элементов с коэффициентами , , и для него введено обозначение .

Если в качестве совокупности объектов рассмотреть все конечное метрическое пространство и мысленно добавить к нему аффинные комбинации со всеми коэффициентами , то в результате мы получим гипотетическое расширенное метрическое пространство , содержащее множество объектов .

В частности, в этом метрическом пространстве для всякой пары элементов и всякого числа существует единственный соосный элемент (50)

       ,  .        ( 54)

В отличие от , метрическое пространство является непрерывным, т. е. содержит вместе с любым элементом континуум элементов , расположенных к нему не далее сколь угодно малого порога . Но это еще и неограниченное выпуклое метрическое пространство в том смысле, что вместе с любыми двумя элементами , , оно содержит всю определяемую ими ось (54).

В общем случае произвольной метрики такое погружение невозможно, поскольку не выполняются условия теоремы 5.

Решающее правило различения объектов двух классов без выбора центрального элемента и критерий обучения по методу опорных векторов Диполь в псевдоевклидовом линейном пространстве Понятие диполя

Введенный формализм позволяет перейти к рассмотрению задачи обучения распознаванию образов на множестве объектов, представленных только через отношения произвольной метрики. Пусть по-прежнему есть множество объектов реального мира с заданной на нем метрикой (22), и наблюдателю предоставлена конечная обучающая совокупность объектов вместе с известными индексами их принадлежности к одному из двух классов

        .        ( 55)

Целью наблюдателя является построение решающего правила распознавания классов новых объектов , не представленных в обучающей совокупности, причем единственным свойством каждого нового объекта, доступным наблюдателю, является совокупность его расстояний до объектов обучающей выборки .

Пусть – псевдоевклидово линейное пространство, натянутое на конечное множество объектов реального мира . Это псевдоевклидово пространство однозначно «привязано» к метрическому пространству , поскольку в силу теоремы 2 его сигнатура фиксирована и определяется только метрикой . Вообще говоря, это пространство может иметь огромную размерность , но нам нигде далее не придется совершать в нем вычислительные операции, оно нам нужно лишь как математическое понятие для дальнейших построений.