Финансовая математика (стр. 12 )

Погашение кредита может также производиться аннуитетами, т. е. платежа­ми, вносимыми через равные промежутки времени и содержащими как вы­плату основного долга, так и процентный платеж за пользование кредитом. Величина аннуитета может быть постоянной, а может изменяться в арифме­тической или геометрической прогрессии.

Величина срочных уплат зависит от величины кредита, его срока, наличия и продолжительности льготного периода, размера процентной ставки и т. п. Однако, как правило, проценты за кредит должны выплачиваться и в льгот­ном периоде.

7.2. Погашение долга равными срочными уплатами.

Условиями кредитного контракта может предусматриваться погашение долга равными срочными уплатами в конце каждого расчетного периода. Каждая срочная уплата (Y) будет являться суммой двух величин: годового расхода по погашению основного долга R и процентного платежа по займу I, т. е.

                                       

В этом случае остаток основного долга и суммы процентных платежей уменьшаются от периода к периоду, годовой расход погашенного основного долга растет, а срочные уплаты будут являться аннуитетами ренты постну-мерандо.

Величина кредита (D) равна сумме всех дисконтированных аннуитетов, т. е. является современной величиной всех срочных уплат.

Исходя из этого, можно записать:

где  — срочные уплаты; — ставка процентов по займу.
Для удобства записи обозначим , тогда:

                                                                               (*)

Умножим выражение (*) на величину r:

                                                               (**)

Вычтя из выражения (**) выражение (*), получим:

                                       

Тогда

                                       

Подставив вместо r его значение, получим:

                                                                               (62)

Величина - коэффициент погашения задолженности.

Пример 9. Банк выдал долгосрочный кредит в сумме 40,0 тыс. долл. на 5 лет под 6% годовых Погашение кредита должно производиться равными ежегодными выплатами в конце каждого года, включающими погашение основного долга и процентные платежи. Начисление про­центов производится раз в году. Составить план погашения займа.

Параметры займа: 40 тыс. долл., n = 5 лет, i = 0,06, m = 1.

Ежегодная выплата равна:  тыс. долл.

Величина процентного платежа за первый год составит:

       

Так как , то выплата основного долга определится величиной:

Тогда остаток основного долга после первого года

       

Процентный платеж во втором году

       

Величина выплаты основного долга во втором году

       

Остаток основного долга после второго года

       

Процентный платеж на эту сумму в третьем году

               

Величина выплаты основного долга в третьем году

               

Остаток основного долга

               

Процентный платеж на эту сумму

       

Величина выплаты основного долга в четвертом году

       

Остаток долга после четвертого года

       

Процентный платеж на эту сумму

       

Величина выплаты основного долга

План погашения долга представим в виде табл. 1.

ПЛАН ПОГАШЕНИЯ ДОЛГА                                                        табл. 1

Годы	Остаток долга D	Про­центный платеж I	Годовой расход  по погашению основного долга &	Годовая срочная уплата У
1 2 3 4 5	40,0000 32,9040 25,3822 17,4091 8,9576	2,4000 1,9742 1,5229 1,0445 0,5375	7,0960 7,5218 7,9731 8,4515 8,9585	9,4960 9,4960 9,4960 9,4960 9,4960
Ито­го	7,4791	40,0000	47,4791

При погашении займа равными платежами остаток долга с каждой выплатой уменьшается, следовательно, уменьшаются и процентные выплаты. В резуль­тате возрастает от периода к периоду размер платежей, идущих на погашение основного долга (см. табл. 1). Между двумя последовательными выплатами основного долга существует взаимосвязь. Для ее определения возьмем два последовательных расчетных периода

В -м расчетном периоде годовая срочная уплата ,

а остаток невыплаченного долга соответственно определяется как

Однако для определения необходимо предварительно определить . В пе­риоде (к+1) остаток основного долга  , следовательно, срочная уплата в этом периоде может быть записана в виде:

       

По условию

Отсюда   

Решив это уравнение относительно ,  получим:

                                                                               (63)

То есть каждая выплата, произведенная в счет погашения основного долга,

отличается от предыдущей на величину (1 + i).

Зная эту зависимость, можно рассчитать величину выплаты основного долга

в любом расчетном периоде.        ,