Финансовая математика (стр. 5 )

                                               (19)

где dc - сложная годовая учетная ставка.

Дисконт в этом случае равен

3.7. Номинальная и эффективная учетные ставки процентов.

3.7.1. Номинальная учетная ставка.

В тех случаях, когда дисконтирование применяют m раз в году, используют номинальную учетную ставку f. Тогда в каждом периоде, рав­ном части года, дисконтирование осуществляется по сложной учетной ставке . Процесс дисконтирования по этой сложной учетной ставке m раз в году описывается формулой:

                                                                               (20)

где f - номинальная учетная ставка, N = - общее число периодов дисконтирования.

3.7.2. Эффективная учетная ставка.

Под эффективной учетной ставкой понимают слож­ную годовую учетную ставку, эквивалентную (по финансовым результатам) номи­нальной, применяемой при заданном числе дисконтирований в году m. Определим ее на основе равенства дисконтных множителей:

                                                (21)

В свою очередь

Эффективная учетная ставка во всех случаях, когда m >1, меньше номинальной.

3.8. Наращение по сложной учетной ставке.

Иногда наращенную сумму получают и с помощью сложной учетной ставки. Из формул (19) и (20) следует:

                                                                                       (22)

                                                                               (23)

3.9. Непрерывные проценты.

Начисление процентов на первоначальный капитал, или дисконтирование нара­щенных сумм, может производиться так часто, что этот процесс можно рассматри­вать как непрерывный. В этом случае используются непрерывные проценты. Суть непрерывных процентов заключается в том, что количество периодов наращения или дисконтирования стремится к бесконечности, а временной интервал между периода­ми - к нулю.

Непрерывные проценты используются при обосновании и выборе инвестиционных проектов, при количественном финансово-экономическом анализе сложных хозяйст­венных процессов.

Непрерывное наращение процентов производится с помощью особого вида про­центной ставки, именуемой силой роста. Сила роста есть относительный прирост на­ращенной суммы в бесконечно малом промежутке времени, т. е.

Сила роста может быть постоянной или переменной

Постоянная сила роста.

Как было показано выше, при дискретном начислении процентов m раз в году по номинальной ставке j наращенная сумма находится как

Чем больше m, тем меньше промежуток между моментами начисления процентов, в пределе при имеем

       

Если ставку непрерывных процентов (силу роста) обозначить через , то величину наращенной суммы запишем в следующем виде:

                                                                                       (24)

Сила роста представляет собой номинальную ставку процентов при . Дисконтирование (математическое) на основе непрерывных процентных ставок осуществляется по формуле

                                                                                       (25)

3.10. Связь дискретных и непрерывных процентов.

Дискретные и непрерывные процентные ставки находятся в функциональной зависимости, благодаря которой можно осуществить переход от расчета непрерывных процентов к дискретным и наоборот. Формулу эквивалентного перехода от одних ставок к другим можно получить путем приравнивания соответствующих множителей наращения

                                       

Следовательно

                                                                                       (26)

                                                                                       (27)

Пример 5. На первоначальный капитал в сумме 500 тыс. руб. начисляются сложные проценты - 8% годовых в течение 4 лет. Определить наращенную сумму, если начисление процентов производится непрерывно.

Решение.

                       

3.11. Определение срока ссуды и размера процентной ставки.

В ряде практических задач начальная (Р) и конечная (S) суммы заданы контрактом, и требуется определить либо срок платежа, либо процентную ставку, которая в дан­ном случае может служить мерой сравнения с рыночными показателями и характери­стикой доходности операции для кредитора. Указанные величины нетрудно найти из исходных формул наращения или дисконтирования. По сути дела, в обоих случаях решается в известном смысле обратная задача.

3.11.1 Срок ссуды.

Рассмотрим задачу расчета срока ссуды для различных ставок:

а) при наращении по сложной годовой ставке i:

                               

б) при наращении по номинальной ставке процентов m раз в году:

                               

в) при дисконтировании по сложной учетной ставке dc :

                               

г) при дисконтировании по номинальной учетной ставке m раз в году:

                               

д) при наращении по постоянной силе роста:

                               

3.11.2 Расчет процентных ставок.

Из тех же исходных формул, что и выше, получим вы­ражения для процентных ставок.

а) при наращении по сложной годовой ставке i: