Финансовая математика (стр. 3 )

Размер дисконта или учета, удерживаемого банком, равен

,                                 (8)

откуда

                                                 (9)  Множитель называется дисконтным множителем.  Срок п измеряет период времени от момента учета векселя до даты его погашения в годах. Дисконтирование по учетной ставке производится чаще всего при условии, что год равен 360 дням.

2.6. Наращение по учетной ставке.

Учетная ставка может использоваться для наращения, т. е. для расчета S по Р. В этом случае из формулы (9) следует, что

                                                                                       (10)

2.7. Совмещение начисления процентов по ставке наращения и дисконтирования по учетной ставке.

В том случае, когда учету подлежит долговое обязательство, предусматривающее начисление простых процентов на первоначальную сумму долга, необходимо решить две задачи: (1) определить конечную сумму долга на момент его погашения; (2) рассчитать сумму, получаемую при учете, путем дисконтирования конечной суммы долга, применяя учетную ставку, действующую в момент учета. Решение двух этих задач можно записать в виде одной формулы, содержащей наращение по ставке простых процентов, фигурирующей в долговом обязательстве, и дисконтирование по учетной ставке:

,

где - первоначальная сумма ссуды, - сумма, получаемая при учете обязательства, - общий срок платежного обязательства, в течение которого начисляются проценты, - срок от момента учета до погашения долга.

  Пример 1.  Платежное обязательство уплатить через 100 дней 2 млн. руб. с процентами, начисляемыми по ставке простых процентов i=20% годовых, было учтено за 40 дней до срока погашения по учетной ставке d=15%. Требуется определить сумму, получаемую при учете.

Решение.

                       млн. руб.

  Отметим, что при наращении здесь использовалась временная база 365 дней, а при дисконтировании - 360.

2.8. Определение сроков ссуды, величин простых процентных и учетных ставок.

2.8.1. Определение сроков ссуды.

В процессе подготовки кредитного договора, когда согласованы его основные параметры (сумма погашения долга S, процентная ставка i или учетная ставка d, величина ссуды P), срок погашения ссуды определяется по формуле:

                                       ,

где n - срок ссуды в годах.

Для определения срока ссуды в днях следует воспользоваться формулой:

                               ,

где K=360 или 365(366) дней.

Определение срока ссуды при использовании учетной ставки производится по формуле:

                               ,

где n - срок ссуды в годах.

  В случае, когда срок ссуды необходимо определить в днях, расчет производится по формуле:

                               ,

где t - число дней ссуды.

2.8.2. Определение уровня простой процентной и учетной ставок по остальным параметрам сделки производится следующим образом:

       ставка процентов        

       учетная ставка          ,

где К=360 или 365(366) дней.

        3. Сложные проценты.        

В средне - и долгосрочных финансово-кредитных операциях, если проценты не выплачиваются периодически сразу после их начисления за прошедший интервал времени, а присоединяются к сумме долга, применяют сложные проценты. База для начисления сложных процентов в отличие от простых не остается постоянной - она увеличивается с каждым шагом во времени. Абсолютная сумма начисляемых процентов возрастает, и процесс увеличения суммы долга происходит с ускорением. Он описывается геометрической прогрессией. Присоединение начисленных процентов к сумме, которая послужила базой для их начисления, часто называют капитализацией процентов.

       3.1 Формула наращения по сложным процентам.

Пусть P - первоначальная сумма долга (ссуды, кредита, капитала и т. д.); S - наращенная сумма на конец срока ссуды; n - срок ссуды, число лет наращения; i - годовая ставка сложных процентов (десятичная дробь).        

       В конце первого года проценты равны величине Pi, а наращенная сумма составит Р + Pi = P(l+i). К концу второго года она достигнет величины P(l+i) + P(l+i)i = P(l+i)2 и  т. д. В конце n-го года наращенная сумма будет равна        

                                                       (11)

Замечание. Рост по сложным процентам представляет собой процесс, соответствующий геометрической прогрессии: ; последний член прогрессии равен наращенной сумме в конце срока ссуды.

Проценты за этот же срок в целом таковы . Часть из них  получена за счет начисления процентов на проценты.  Она составляет        

Величину называют также сложным декурсивным коэффициентом, а величину - множителем наращения по сложным процентам.

Время при наращении по сложной ставке обычно измеряется как 365/365.

3.2. Переменные ставки.

Формула (11) предполагает постоянную ставку на протяжении всего срока начисления процентов. Нестабильность экономической ситуации вынуждает банки использовать в кредитных сделках изменяющиеся во времени, но заранее фиксированные для каждого периода став­ки сложных процентов. В этом случае наращенная сумма может быть определена по формуле

                                                               (12)

где - последовательные значения ставок процентов; - периоды, в течение которых используются соответствующие ставки.

Наряду с изменяющимися процентными ставками могут использоваться «плавающие» ставки, т. е. ставки, рост которых «привязывается» к темпам инфляции или какому-либо другому показателю, например ставкам рефинансирования, уста­навливаемым Центральным банком страны. Естественно, что в этом случае невоз­можно заранее рассчитать наращенную сумму.

3.3. Формула удвоения суммы.

В целях оценки своих перспектив кредитор или должник может задаться вопросом: через сколько лет сумма ссуды возрастет в N раз при дан­ной процентной ставке?

Чтобы первоначальная сумма P увеличилась в N раз, необходимо, чтобы коэффи­циенты наращения были равны величине N, т. е.

а) для простых процентов , откуда ;

б) для сложных процентов , откуда 

Наиболее часто решается задача по определению времени, необходимого для уд­воения первоначального капитала, т. е. N = 2. Тогда