Сборник задач по линейному программированию (стр. 4 )

11)        12)

13)        14)

15)        16)        

Построение математических моделей для задач линейного программирования

При построении математических моделей необходимо:

Ввести необходимое число переменных , определяющих искомые параметры. Записать в виде линейных уравнений и неравенств все связи между и другими величинами, приведенными в условии задачи. Совокупность этих соотношений называется системой ограничений для данной задачи. Найти в виде линейной зависимости от функцию , максимум или минимум которой дает наилучшие результаты для данной экономической задачи. называется целевой функцией.

Рассмотрим несколько примеров:

Пример 1. Задача об использовании ресурсов.

Для изготовления трех видов изделий используется четыре вида ресурсов: машиностроительное оборудование ( токарные, фрезерные станки и т. д.), металлопрокат, электроэнергия, людские ресурсы.

Таблица        

Вид изделия Тип ресурса	Затраты ресурса на изготовление одного изделия	Запас ресурса
Оборудование	3	6	7	220
Металлопрокат	5	7	4	380
Электроэнергия	5	8	9	290
Людские ресурсы	3	2	4	410
Прибыль от одного изделия	11	13	18

Расходы в условных единицах для каждого вида ресурса при изготовлении одного изделия определенного типа указаны в таблице.

В ней же указан в условных единицах общий запас каждого типа ресурса, превышать который запрещено, а также прибыль от реализации одного изделия каждого вида.

Требуется определить сколько изделий и какого вида следует изготовить предприятию, чтобы прибыль от реализации была максимальной.

Предположим, что будет изготовлено единиц изделия , единиц вида , единиц вида . Тогда для производства такого количества изделий следует потратить ( в условных единицах):

  ресурсов первого вида.

       Так как общий запас на оборудование не должен превышать 220, то должно выполняться неравенство        .

Аналогично рассуждения можно провести относительно использования ресурсов других видов. Получим следующие неравенства.

       При этом значения не могут быть отрицательными, т. е.

Строим целевую функцию, как прибыль реализации изделий в количестве . Получим:

.

Таким образом, приходим к следующей математической задаче:

Дана система четырех линейных неравенств с тремя неизвестными

и линейная функция относительно этих переменных

,

.

Требуется среди всех неотрицательных решений системы неравенств найти такое, при котором целевая функция принимает максимальное значение.

Пример 2. Задача о рационе.

При откорме животных в день каждое животное должно получить не менее 70 ед. питательного вещества A, не менее 40 ед. вещества B и не менее 19 ед. вещества С. Указанные питательные вещества содержатся в трех видах кормов.

Содержание единиц питательных веществ в одном килограмме каждого вида корма приведено в таблице:

Вид корма Питательные вещества	Количество единиц питательного вещества в 1 кг корма
1	2	3
А	3	4	1
В	2	2	2
С	1	2	1

Составить дневной рацион, обеспечивающий получение необходимого количества питательных веществ при минимальных денежных затрат, если цена 1 кг корма первого вида составляет 9 руб., корма второго вида 12 руб., корма третьего вида 10 руб.

Обозначим через количество корма первого вида входящего в дневной рацион, количество корма второго вида, количество корма третьего вида. Тогда количество питательных веществ типа А для ежедневного приема составляет: