Сборник задач по линейному программированию (стр. 6 )

3. ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ НЕРАВЕНСТВ

Задача линейного программирования, содержащая только две независимые переменные и , может быть решена графическим методом. При этом важно уметь правильно находить область допустимых решений системы ограничений требуемой задачи. Довольно часто ограничения имеют вид системы неравенств.

Пример 1. Найдем множество точек на плоскости , соответствующее неравенству

Для этого перепишем наше неравенство в виде равенства

и построим его на плоскости . Очевидно, что графическим отображением этого равенства будет прямая линия. Построить прямую достаточно просто по двум точкам, координаты которых удовлетворяют нашему равенству.

Пусть , тогда .

Если , то .

Значения этих пар точек можно записать в виде таблицы:

	0	1
	-1	0

Построим эти точки на графике и проведем прямую , которая разделит плоскость на две полуплоскости. Каждая полуплоскость удовлетворяет одному неравенству:

          или 

Возьмем на плоскости любую точку, не принадлежащую прямой  , например точку (0,0). Эта точка не удовлетворяет нашему исходному неравенству .

Значит и все точки полуплоскости, лежащие левее и выше прямой не удовлетворяют этому неравенству. Все точки, лежащие правее и ниже проведенной прямой, включая саму прямую, будут удовлетворять неравенству .

Эта полуплоскость отмечена на графике указывающими стрелками.

       

                               Рис. 1

Замечание:

1. При построении прямой в качестве опорных точек мы выбрали точки, имеющие в значении одной компоненты 0, т. е. точки (0,-1) и (1,0). Это совершенно не обязательно. При выборе в качестве исходной компоненты одной из точек можно выбрать любые значения. Выбор компонент точек () определяется удобством вычисления и построения точек на графике.

2. Аналогично, можно заметить, что в качестве точки, определяющей ту или иную полуплоскость можно выбирать любую точку на графике, не принадлежащую самой прямой.

Пример 2. Графически решить неравенство

                       

Построим прямую .

Точки () используемые при этом запишем в таблице

	0	1
	0	2

                               Рис. 2

Точка (0,1) удовлетворяет исходному неравенству, поэтому точки полуплоскости, лежащие левее и выше прямой , также будут удовлетворять этому неравенству. (Полуплоскость отмечена стрелками).

Пример 3. Решить систему неравенств.

Найдем на плоскости точки, удовлетворяющие отдельно каждому неравенству.

       1. Неравенство .

Запишем равенство .

Найдем две точки этой прямой и построим ее (рис. 3).

	0	96
	160	0

Точка (0,0) удовлетворяет неравенству . Значит полуплоскость, лежащая ниже и левее построенной прямой, является искомой. (Прямая АВ).

       2. Неравенство .

Соответствующее равенство .

Получим две точки прямой

	0	100
	150	0

Это прямая CD. Искомая полуплоскость указана стрелками.