Сборник задач по линейному программированию (стр. 8 )

будет решением нашей задачи. В этой точке значения будут определять максимальное значение (оптимальный план). В нашем случае  это точка С, с координатами  (12, 6).

В этой точке пересекаются прямые трех уравнений

                               

Определить аналитически координаты этой точки, очевидно, не составляет труда. Зная координаты точки С, находим максимальное значение ,

                       Рис. 6

Если строить линии уровня в противоположном направлении, то получим точку О, Х=(0, 0), соответствующую минимальному значению , .

Получим решение:  .

                       

Пример 2. Найти максимум и минимум функции

при условиях-ограничениях

Решение. Построим многоугольник решений. Для этого в неравенствах системы ограничений и условий неотрицательности переменных знаки неравенств заменим на знаки точных равенств.

Построив соответствующие прямые, найдем многоугольник решений (рис. 7). Из рисунка видно, что это треугольник АВС.

Задача будет решена, если среди точек ΔАВС найти такие, в которых функция принимает максимальное и минимальное значение. Для нахождения этих точек построим прямую и вектор целевой функции (см. рис. 7). Передвигая данную прямую параллельно самой себе в направлении вектора , видим, что ее последней точкой является точка С. Следовательно, в этой точке функция принимает максимальное значение. Точка С – это точка пересечения прямых соответствующих уравнениям:

Решив эту систему, найдем = 6; = 1.

Таким образом, = 6 + 1 = 7.

Для нахождения минимального значения целевой функции передвигаем линию уровня в направлении, противоположном направлению вектора . В этом случае, как видно из рис. 7, последней общей точкой прямой с многоугольником решений является точка А. Следовательно, в этой точке функция принимает минимальное значение. Для определения координат точки А решаем систему уравнений:

Отсюда, = 0; = 3, = 3.

                                                       Рис. 7.

Решить графически следующие задачи: