Физика. Термодинамика и молекулярная физика (стр. 3 )

Выразим начальную и конечную массы из (1) и (2)

  (3)

и    (4).

Вычитая из (3) массу (4), имеем .

Отсюда , что и является рабочей формулой для вычисления искомого давления.

Проанализируем размерность Р2

.

Рассчитаем  давление Р2

Пример 2.4.

Сколько тепловой энергии в час отдаёт единица поверхности озера находящемуся над ним воздуху при морозе, если толщина образовавшегося за сутки льда над ней
h = 1,4 см? Температура воды у поверхности озера 0о С. Плотность льда равна с = 900 кг/м3, удельная теплота кристаллизации л = 1,8·105 Дж/кг.

Дано: h = 1,4 см = 1,4·10-2м; S = 1; Ткр = 273 К;
с = 900кг/м3; л = 3,35·105 Дж/К.

Найти: .

Решение.

На чертеже условно изображён лёд, образовавшийся на единице поверхности воды за сутки. Масса этого льда . Для его кристаллизации водой отдано Дq= лm  тепловой энергии за время Дt, равное 24 часа. Следовательно, . Проанализируем размерность . Рассчитаем Дж/ч.

Пример 2.5

Определить количество тепловой энергии, поглощаемой водяным паром массой m = 0,4 кг при нагревании его от температуры t1 = 100о С до температуры t2 = 130о С при постоянном давлении. Найдите также – изменение внутренней энергии газа и совершаемую им работу А.

Дано: Р = соnst, m = 0,4 кг, м = 18, t1 = 100о С,
Т1 = 373 К, t2 = 130о С, Т2 = 403К, R = .

Найти: , , А.

Решение. 1) Количество тепловой энергии, поглощаемое газом при изобарном нагревании, определяется по формуле

=mcpДT,  (1),

где cp – удельная теплоёмкость газа при постоянном давлении,

ДT – разность температур, одинаковая как по шкале Цельсия, так и по шкале Кельвина.

Удельную теплоёмкость при постоянном давлении найдём cp, где R–универсальная газовая постоянная, i - число степеней свободы, для водяного пара как трёхатомного газа, равное 6,  м –молярная масса газа. Подставляя в (1), имеем . Проанализируем размерность

. После подстановки числовых значений, получим  =22,16 кДж.

2) Изменение внутренней энергии . Вычисления дают = 16,62 кДж.

3) Работу расширения найдём из первого начала термодинамики А = – . Искомая работа равна А = 5,54 кДж.

Пример 2.6

Сосуд ёмкостью 3 л содержит азот при температуре 17о С и давлении 1,5 атм. Найдите число молекул в сосуде n, среднее число столкновений <z> одной молекулы за 1 секунду, число столкновений z всех молекул за 1 секунду,  среднюю длину свободного пробега <l>.

Дано: V=3л=3·10-3 м3; Т=17о С = 290 К; Р=1,5 атм = 1,5·105 Па = 1,5·105 Н/м2 ; м = 28·10-3 кг/моль; dэф.= 3,1·10-10 м.

Найти: n, <z> ,z, <l>.

Решение. Число молекул в сосуде найдём, считая азот идеальным газом, из уравнения Менделеева-Клапейрона: . Здесь m – масса газа, равная m = n mo, где mo – масса одной молекулы, равная  mo.Здесь NA – число Авогадро, то есть, число молекул в одном моле вещества,
м – молярная масса. Следовательно,

  (1).

Подставляя числовые значения, имеем:

Для нахождения <z> используем формулу

  (2),

где <v> – средняя арифметическая скорость поступательного движения молекул, равная

  (3).

Так как средняя длина свободного пробега

<l>.  (4),

где no концентрация молекул, то, подставляя в (2) значения (3) и (4) и, учитывая что , где k – постоянная Больцмана, равная Дж/K, для среднего числа столкновений молекулы за 1 секунду получим:

<z>  (5).

Вычисляем в системе СИ:

, или  z = 0,5·1,1·1023 ·7,5·109  = 4,1·1032 .

Длину свободного пробега молекул вычисляем по формуле (2), подставив туда значение (3)

.

Вычисляем в системе СИ:

.

Пример 2.7

Идеальный трёхатомный газ, содержащий н = 2 моля, и находящийся под давлением Р1 = 105 Па при температуре
T1 = 300 К, вначале при постоянном объеме нагревают, доводя до давления Р2 = 2·105Па. После этого газ изотермически расширяется до объема V2 = 20 л и до  начального давления.
а) Построить график цикла в координатах (P, V), б) определить параметры состояния (P, V,Т) для всех точек цикла и в) найти его термический коэффициент полезного действия з.

Дано: н = 2 моль; i = 6; Р1 = 1·105 Па; Т1 = 300 К;
V2 = 20л = 20·10-3 м3;; Р2 = 2·105Па;(здесь i - число степеней свободы, равное 6 для трехатомного газа).

Найти: з.

Решение.

а) Для наглядности построим в координатах (PV)график цикла

Здесь (1–2) соответствует изохорному нагреванию, при котором газу сообщается количество тепловой энергии Q1. (2–3)-соответствует изотермическому расширению, при котором газу сообщается количество теплоты  Q2. и над газом совершается работа А (3–1)-изобарного сжатия, при котором газ возвращается в первоначальное состояние.

б). Определить параметры состояния можно, записав уравнения всех процессов, и учтя постоянные величины в этих процессах. Так для изохорного процесса (1–2) объем
V1 = const, поэтому . Подставляя числовые значения, получаем Т2 = 600 К.

Для изотермического процесса (1–3) температура постоянна (Т2 = const), поэтому . После подстановки числовых значений, получаем V1=10 л. Эти данные позволяют рассчитать теплоты Q1, Q2, Q3, необходимые для нахождения термического коэффициента полезного действия.

в)   (1).

Так как работа процесса равна разности полученной теплоты и отданной.

Теплота Q1, полученная в изохорном процессе,

  (2),

где н – число моль вещества,

сV – молярная теплоемкость при постоянном объеме ,. Здесь R– универсальная газовая постоянная, равная
R = 8,31 Дж·моль/К.

Теплота Q2, полученная в изотермическом процессе, , для нашей задачи а , поэтому