Физика. Термодинамика и молекулярная физика (стр. 4 )

  (3).

Теплота Q3, отданная при изобарном сжатии,

  (4),

где сР – молярная теплоемкость при постоянном давлении .

Подставляя (2), (3), (4) в (1), имеем:

.

Сокращая на нR и учитывая i=6, получаем расчетную формулу для к. п.д.:

  (5).

Соответствующие расчеты дают нам з = 0,09 или 9%.

Пример 2.8

Ротор центрифуги вращается с угловой скоростью щ. Используя функцию распределения Больцмана частиц по энергиям, установить распределение концентрации n частиц массой m, находящихся в роторе центрифуги, как функцию расстояния r от оси вращения.

Дано:

  (1),

где n – концентрация частиц в точках поля, где их потенциальная энергия равна U,

no – концентрация частиц в точках поля, где их потенциальная энергия U=0, k-постоянная Больцмана,

T – температура,

е – основание натурального логарифма, равное 2,7.

Найти: n = f(r).

Решение.

На рисунке (вид сверху) показано распределение частиц, возникающее вследствие вращательного движения ротора. На данную частицу массой m действует сила , прижимающая частицу к боковой стенке. Частица имеет нормальное ускорение, равное , поэтому сила равна . Эта сила связана с потенциальной энергией частицы в таком силовом поле:

.

Подставляя значение потенциальной энергии в (1), имеем экспоненциальное увеличение концентрации частиц в зависимости от расстояния, массы и частоты вращения.

.

Пример 2.9

На какой высоте h давление, создаваемое кислородом воздуха, снижается в два раза по сравнению с уровнем моря? Температуру считать постоянной, равной 0о С.

Дано: , T = 273 K, µ = 29·10-3 кг/моль.

Найти: h.

Решение. Воспользуемся барометрической формулой

  (1),

здесь е = 2,7;

  µ – молярная масса кислорода,

  g – ускорение свободного падения, на нашей широте равно 9,8 м/с2;

  R – универсальная газовая постоянная R = 8,31 Дж·моль/К,

Т – температура.

Подставляя давление, сокращая на Po, имеем:

логарифмируем; –0,693=–;

  (2),

что и является расчетной формулой для определения искомой высоты. Проанализируем размерность:

.

Подставляем числовые значения в формулу (2):

5526 (м).

Пример 2.10

Определить абсолютную влажность воздуха, если парциальное давление пара в нем P = 16 кПа, а температура t = 67o C.

Дано: , T = 340 K, µ = 29·10-3 кг/моль.

Найти: с.

Решение.

Абсолютная влажность воздуха определяется количеством водяного пара, содержащимся в м3 воздуха, то есть, плотностью его с. Для ее нахождения воспользуемся уравнением Менделеева-Клапейрона: , так как , и , то

  (1),

что и является искомой формулой. Здесь R=8,31 Дж·моль/К, µ – молярная масса. Проанализируем размерность:

.

Вычисляем: кг/м3.

Пример 2.11

Вычислить удельные теплоемкости сV и сP смеси аргона и водорода, если массовые доли аргона и водорода составляют соответственно о1 = 80% и о2 = 20%.

Дано: о1 = 0,8; о2 = 0,2; µ1 = 40·10-3кг/моль,
µ2 = 2·10-3кг/моль,(из таблицы 14 по величине А·10-3 кг/моль, аргон одноатомный газ, водород – двухатомный газ), i1 = 3,
i2 = 5,

где  i-число степеней свободы.

Найти: сV, сP.

Решение.

Удельные теплоемкости идеальных газов можно найти по степеням свободы и молярным массам: сV=, сP=, здесь R –универсальная газовая постоянная, равная
R = 8,31 Дж/(моль·К).

Рассчитаем: сV1=Дж/(кг·К) = 3,12·Дж/(кг·К), сP1= Дж/(кг·К).

сV2=Дж/(кг·К)=10387,5·Дж/(кг·К), сP2= Дж/(кг·К).

Теперь чтобы найти удельные теплоемкости смеси поступим следующим образом: Для теплоты ДQ, необходимой для нагревания смеси на ДT, можно получить два выражения:

ДQ= сV  (1),

ДQ=( m1 сV1+m2 сV2)ДT  (2).

Приравняв (1) и (2), и сократив на ДT, для удельной теплоемкости смеси при постоянном объеме имеем

= (3).

Здесь массовая доля первого газа , второго – .

Проведя подобные рассуждения, получим похожую формулу для удельной теплоемкости смеси при постоянном давлении

сP =  (4).

Произведем вычисления по формулам (3) и (4):

сV = 0,8 · 3,12 + 0,2 · 10387,5 = 2080 Дж/(кг·К).

сP = 0,8 · 519,4 + 0,2 · 14542,5 = 3323,7 Дж/(кг·К).

Пример 2.12

Какая часть молекул кислорода при 27о С обладает скоростями от 400 м/с до 420 м/с?

Дано: T = 300 K, µ = 32·10-3 кг/моль, v = 400 м/с, Дv = 20 м/с

Найти: – ?

Решение.

Из графика видно, что это распределение неравномерное:

больше всего молекул со скоростью vв – так называемой вероятной скоростью. Мало молекул с маленькими скоростями и мало молекул с большими скоростями.

Воспользуемся распределением Максвелла по относительным скоростям теплового движения молекул:

  (1),

где u – относительная скорость, равная .

Здесь vв – вероятная скорость, то есть, скорость, которой обладает наибольшее количество молекул. Вероятная скорость зависит от температуры и молярной массы:

vв=,

где R=8,31 Дж·моль/К,

µ - молярная масса,

T-температура.

Рассчитаем вероятную скорость

м/с.

Относительная скорость u=;

Вычисляем u=; а изменение Дu= дает для Дu= Подставляя в (1) числовые значения, имеем:

Выражая в процентах, получаем

= 4,2%.

Пример 2.13

Найти изменение ДS энтропии при нагревании 1 литра воды, взятой при температуре =10о С до кипения и полного превращения в пар. Давление нормальное.