Материалы консультации к ЕГЭ по математике (стр. 4 )

Ре­ше­ние.

Чтобы найти сред­нюю ско­рость, не­об­хо­ди­мо прой­ден­ное рас­сто­я­ние раз­де­лить на время про­хож­де­ния: точка дви­га­лась вверх - 6м, затем вниз - 4м, затем снова вверх - 6м, в сумме - 16м. Время про­хож­де­ния со­став­ля­ет - 4с. Таким об­ра­зом, сред­няя ско­рость: м/с

Ответ: 4.

30. За­да­ние 7. На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик не­ко­то­рой функ­ции (два луча с общей на­чаль­ной точ­кой). Поль­зу­ясь ри­сун­ком, вы­чис­ли­те F(8) − F(2), где F(x) — одна из пер­во­об­раз­ных функ­ции f(x).

Ре­ше­ние.

Раз­ность зна­че­ний пер­во­об­раз­ной в точ­ках 8 и 2 равна пло­ща­ди вы­де­лен­ной на ри­сун­ке тра­пе­ции По­это­му

Ответ:7.

31. За­да­ние 7. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­

цииf(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−7; 4). Най­ди­те сумму точек экс­тре­му­ма функ­ции f(x).

Ре­ше­ние.

За­дан­ная функ­ция имеет мак­си­му­мы в точ­ках −5, −2, 1, 3 и ми­ни­му­мы в точ­ках −3, 0, 2. По­это­му сумма точек экс­тре­му­ма равна −5 − 2 + 1 + 3 − 3 + 0 + 2 = −4.

Ответ: −4.

32. За­да­ние 7.

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции y=f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−1; 12). Опре­де­ли­те ко­ли­че­ство целых точек, в ко­то­рых про­из­вод­ная функ­ции от­ри­ца­тель­на.

Ре­ше­ние.

Про­из­вод­ная функ­ции от­ри­ца­тель­на на тех ин­тер­ва­лах, на ко­то­рых функ­ция убы­ва­ет, т. е. на ин­тер­ва­лах (0,5; 3), (6; 10) и (11; 12). В них со­дер­жат­ся целые точки 1, 2, 7, 8 и 9. Всего 5 точек.

Ответ: 5.

33. За­да­ние 7.

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−9; 3). Най­ди­те ко­ли­че­ство точек, в ко­то­рых ка­са­тель­ная к гра­фи­ку функ­ции f(x) па­рал­лель­на пря­мой y = 2x − 19 или сов­па­да­ет с ней.

Ре­ше­ние.

Зна­че­ние про­из­вод­ной в точке ка­са­ния равно уг­ло­во­му ко­эф­фи­ци­ен­ту ка­са­тель­ной. По­сколь­ку ка­са­тель­ная па­рал­лель­на пря­мой y = 2x − 19 или сов­па­да­ет с ней, их уг­ло­вые ко­эф­фи­ци­ен­ты равны 2. Най­дем ко­ли­че­ство точек, в ко­то­рых про­из­вод­ная равна 2: гео­мет­ри­че­ски это со­от­вет­ству­ет ко­ли­че­ству точек пе­ре­се­че­ния гра­фи­ка про­из­вод­ной с пря­мой y = 2. На дан­ном ин­тер­ва­ле таких точек 3.

Ответ: 3.

34. За­да­ние 8.

Най­ди­те объем приз­мы, в ос­но­ва­ни­ях ко­то­рой лежат пра­виль­ные ше­сти­уголь­ни­ки со сто­ро­на­ми 2, а бо­ко­вые ребра равны и на­кло­не­ны к плос­ко­сти ос­но­ва­ния под углом 30.

Ре­ше­ние.

Объем приз­мы где – пло­щадь ос­но­ва­ния, а – длина ребра, со­став­ля­ю­ще­го с ос­но­ва­ни­ем угол . Пло­щадь пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка со сто­ро­ной равна

Тогда объем приз­мы

.

Ответ: 90.

35. За­да­ние 8. Пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти ко­ну­са равна 12. Па­рал­лель­но ос­но­ва­нию ко­ну­са про­ве­де­но се­че­ние, де­ля­щее вы­со­ту по­по­лам. Най­ди­те пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти от­се­чен­но­го ко­ну­са.

Ре­ше­ние.

Ис­ход­ный и от­се­чен­ный конус по­доб­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том по­до­бия 2. Пло­ща­ди по­верх­но­стей по­доб­ных тел от­но­сят­ся как квад­рат ко­эф­фи­ци­ен­та по­до­бия. По­это­му пло­щадь от­се­чен­но­го ко­ну­са в 4 раза мень­ше пло­ща­ди по­верх­но­сти ис­ход­но­го. Тем самым, она равна 3.

Ответ: 3.

36. За­да­ние 8. Во сколь­ко раз уве­ли­чит­ся пло­щадь по­верх­но­сти ок­та­эд­ра, если все его ребра уве­ли­чить в 3 раза?

Ре­ше­ние.

При уве­ли­че­нии ребер в 3 раза пло­ща­ди тре­уголь­ни­ков, об­ра­зу­ю­щих грани ок­та­эд­ра, уве­ли­чат­ся в 9 раз, по­это­му сум­мар­ная пло­щадь по­верх­но­сти также уве­ли­чит­ся в 9 раз.

Ответ: 9.

37. За­да­ние 8. Во сколь­ко раз уве­ли­чит­ся объем пра­виль­но­го тет­ра­эд­ра, если все его ребра уве­ли­чить в два раза?

Ре­ше­ние.

Объёмы по­доб­ных тел от­но­сят­ся как куб ко­эф­фи­ци­ен­та по­до­бия. По­это­му если все ребра уве­ли­чить в 2 раза, объём уве­ли­чит­ся в 8 раз.

Это же сле­ду­ет из фор­му­лы для объёма пра­виль­но­го тет­ра­эд­ра , где — длина его ребра.

Ответ: 8.

38. За­да­ние 8.

Через сред­нюю линию ос­но­ва­ния тре­уголь­ной приз­мы, объем ко­то­рой равен 18, про­ве­де­на плос­кость, па­рал­лель­ная бо­ко­во­му ребру. Най­ди­те объем от­се­чен­ной тре­уголь­ной приз­мы.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь ос­но­ва­ния от­се­чен­ной части мень­ше пло­ща­ди ос­но­ва­ния всей приз­мы в 4 раза (так как и вы­со­та и ос­но­ва­ние тре­уголь­ни­ка умень­ши­лись в 2 раза). Вы­со­та оста­лась преж­ней, сле­до­ва­тель­но, объем умень­шил­ся в 4 раза.

Ответ: 4,5.

39. За­да­ние 8. В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­деABCDA1B1C1D1 из­вест­ны длины рёбер: AB = 16, AD = 21, AA1 = 28. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния па­рал­ле­ле­пи­пе­да плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки A, B и C1.